а)  Про­ек­ция B₁D на плос­кость ABCD это пря­мая BD. Но BD и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны как пря­мые, со­дер­жа­щие диа­го­на­ли квад­ра­та. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах по­лу­ча­ем, что от­ре­зок B₁D пер­пен­ди­ку­ля­рен диа­го­на­ли AC. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AD₁. При­мем длины ребер куба за a. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABB₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём AB₁:

Ана­ло­гич­но,

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры B₁H и CK на сто­ро­ну AD₁ тре­уголь­ни­ки AB₁D₁ и ACD₁ рав­но­сто­рон­ние, по­это­му пер­пен­ди­ку­ля­ры B₁H и CK также яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми и ме­ди­а­на­ми, по­это­му точки H, K и M сов­па­да­ют. Угол B₁MC  — ис­ко­мый. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AB₁M:

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка B₁MC:

Сле­до­ва­тель­но, угол между плос­ко­стя­ми равен

Ответ: б)