ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 510876 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при которых уравнение

$синус в степени левая круглая скобка 14 правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка a минус 3 синус x правая круглая скобка в степени 7 плюс синус в квадрате x плюс a=3 синус x$

имеет хотя бы одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде

$синус в степени левая круглая скобка 14 правая круглая скобка x плюс синус в квадрате x= левая круглая скобка 3 синус x минус a правая круглая скобка в степени 7 плюс левая круглая скобка 3 синус x минус a правая круглая скобка .$

Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в степени 7 плюс t,$ тогда исходное уравнение записывается в виде $f левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =f левая круглая скобка 3 синус x минус a правая круглая скобка .$ Функция f возрастает, поскольку является суммой двух возрастающих функций. Монотонная функция принимает все свои значения единожды, поэтому получаем:

$синус в квадрате x=3 синус x минус a равносильно a=3 синус x минус синус в квадрате x.$

Функция $y= синус x$ принимает значения от $минус 1$ до $1,$ а функция $z=3y минус y в квадрате$ монотонно возрастает на отрезке $левая квадратная скобка минус 1,1 правая квадратная скобка$ и принимает на нём значения от $минус 4$ до $2.$ Значит, уравнение $a=3 синус x минус синус в квадрате x,$ а с ним и исходное уравнение имеют решение при $минус 4 меньше или равно a меньше или равно 2.$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 4,2 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого коечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки множества значений а.	2
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки множества значений а. ИЛИ Задача сведена к исследованию функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате плюс t.$ ИЛИ Получено уравнение $синус в квадрате x=3 синус x минус a.$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источники:

ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Вариант 901;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2014.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь