СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511160

Шар касается основания АВС правильной треугольной пирамиды SABC в точке В и ее бокового ребра SA. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.

Решение.

Проведем высоту пирамиды SH. Сразу отметим, что H — центр основания,

отсюда

Поскольку шар касается плоскости основания, его центр (обозначим его за O) лежит на прямой, проходящей через B перпендикулярно ABC. Нужно, чтобы расстояние от точки O до прямой AS было равно радиусу шара, то есть BO.

Проведем через середину BC (назовем ее M) прямую, параллельную BO и отметим на ней точку K так, чтобы

Опустим из точки O перпендикуляр OT на плоскость SMA. Он упадет на прямую MK. В самом деле, поэтому Поскольку точки лежат в одной плоскости, поэтому

Опустим теперь перпендикуляр TG из точки T на прямую SA. Тогда (по теореме о трех перпендикулярах, TG — проекция OG на SMA). Поэтому

Обозначим и выразим TG через x. В прямоугольной трапеции KMAS имеем

C другой стороны

Отсюда

Составим теперь уравнение исходя из условия

Очевидно, нам нужен только положительный корень этого уравнения

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Правильная треугольная пирамида, Шар