СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 511164

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Решение.

Из первого уравнения системы: (при этом: т.е ). Тогда второе уравнение принимает вид: Преобразуя его, получим:

1. Уравнение будет иметь единственное решение, если его четверть дискриминанта будет равна нулю, т. е. будет выполнено условие:

Однако, полученное значение а нуждается в проверке выполнения условия: В нашем случае, когда

Условие выполнено.

2. Система также будет иметь единственное решение, если четверть дискриминанта уравнения (*) будет положительной, но больший корень квадратного трехчлена окажется больше 1.

Введем функцию Необходимым и достаточным условием выполнения нашего требования является истинность неравенства (здесь a — старший коэффициент квадратного трехчлена, который заведомо равен 1).

  

Крайние точки интервала также могут быть включены в искомые, если при них выполняются требования, указанные выше. Проверим.

При имеем:    (нарушается единственность решения).

При      

Один корень не больше 1, другой – больше 1. Значение a = 5 удовлетворяет требованиям, упомянутым выше.

Искомые значения a есть элементы множества

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Системы с параметром