СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 511165

Петя задумал натуральное число, большее 100. Вера называет натуральное число N, большее 1. Если число Пети делится на N, то Вера выиграла, иначе Петя вычитает из своего числа число N, и игра продолжается. Называть ранее названные числа Вера уже не может. Когда число Пети станет отрицательным, Вера проигрывает. Есть ли у Веры выигрышная стратегия?

Решение.

Рассмотрим такую стратегию Веры: называть последовательно числа 2, 3, 4, 6, 16, 12 (конечно, если, скажем на числе 3 Вера выигрывает, то дальше игра не продолжается). Докажем, что она выигрышная.

Рассмотрим Петино число. Если оно четное, то ясно, что Вера выигрывает первым же ходом. Пусть оно нечетное.

Рассмотрим всевозможные остатки при делении Петиного числа на 12.

Если оно имеет вид 12k+5 или 12k+11, где k натуральное, то Вера выигрывает вторым ходом (потому что после первого хода, получается число 12k+3 или 12k+9, которое делится на 3).

Если оно имеет вид 12k+1, то последовательно получаются числа 12k-1, 12k-4, и здесь игра кончается, потому что 12k-4 делится на 4.

Если оно имеет вид 12k+3, то последовательно получаются числа 12k+1, 12k-2, 12k-6, и здесь игра кончается, потому что 12k-6 делится на 6.

Если оно имеет вид 12k+7, то последовательно получаются числа 12k+5, 12k+2, 12k-2, 12k-8, 12k-24 и здесь игра кончается, потому что 12k-24 делится на 12.

Если оно имеет вид 12k+9, то последовательно получаются числа 12k+7, 12k+4, и здесь игра кончается, потому что 12k+4 делится на 4.

Осталось заметить, что число 2+3+4+6+16+12<100, поэтому игра кончится раньше, чем Петино число станет отрицательным.

 

Ответ: Есть.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.