Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511210

В правильной треугольной пирамиде SABC точка М — середина ребра SC, точка K — середина ребра AB.

а) Докажите, что прямая MK делит высоту SH пирамиды в отношении 1 : 3.

б) Найдите угол между прямой MK и плоскостью ABC, если известно, что AB = 6, SA = 5.

Решение.

Проведем апофему SK, соединим точки C и K отрезком, который пройдет через точку H. Точку пересечения KM и SH обозначим L.

а) По теореме Менелая имеем:  дробь, числитель — CM, знаменатель — MS умножить на дробь, числитель — SL, знаменатель — LH умножить на дробь, числитель — KH, знаменатель — CK =1; где  дробь, числитель — CM, знаменатель — MS =1, следовательно,  дробь, числитель — LH, знаменатель — SL = дробь, числитель — CK, знаменатель — KH = дробь, числитель — 3, знаменатель — 1 , что и требовалось доказать.

б) В Δ AKS, где \angle AKS={{90} в степени \circ },SK= корень из { A{{S} в степени 2 } минус A{{K} в степени 2 }}, AK=3. SK= корень из { 25 минус 9}=4.

В Δ ABC CK=3 корень из { 3},KH= корень из { 3}.

В Δ KHS, где \angle KHS={{90} в степени \circ },

SH= корень из { S{{K} в степени 2 } минус K{{H} в степени 2 }}= корень из { 16 минус 3}= корень из { 13}.

Так как SH ⊥ (ABC) по условию, L — общая точка MK и SH, то KH — проекция KL на плоскость ABC, следовательно, ∠LKH и есть угол между MK и плоскостью ABC.

LH= дробь, числитель — SH, знаменатель — 4 = дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 4 ; тангенс \angle LKH= дробь, числитель — LH, знаменатель — KH = дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 4 : корень из { 3}= дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 4 корень из { 3 }= дробь, числитель — корень из { 39}, знаменатель — 12 .

 

Ответ: б) \arctg дробь, числитель — корень из { 39}, знаменатель — 12 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 121.
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная треугольная пирамида, Угол между прямой и плоскостью