Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C3 № 511211

Решите неравенство: x корень из { x} плюс 2 корень из { x} плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 6, знаменатель — 2 минус корень из { x }

Решение.

Пусть  корень из { x}=t больше или равно 0, t не равно 2. Тогда

{{t} в степени 3 } плюс 2t плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 6, знаменатель — 2 минус t равносильно {{t} в степени 3 } плюс 2t плюс 3 плюс дробь, числитель — 6, знаменатель — t минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — {{t} в степени 4 } плюс 2{{t} в степени 2 } плюс 3t минус 2{{t} в степени 3 } минус 4t минус 6 плюс 6, знаменатель — t минус 2 меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — {{t} в степени 4 } минус 2{{t} в степени 3 } плюс 2{{t} в степени 2 } минус t, знаменатель — t минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — t({{t} в степени 3 } минус 2{{t} в степени 2 } плюс 2t минус 1), знаменатель — t минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — t левая круглая скобка ({{t} в степени 3 } минус 1) минус (2{{t} в степени 2 } минус 2t) правая круглая скобка , знаменатель — t минус 2 меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — t левая круглая скобка (t минус 1)({{t} в степени 2 } плюс t плюс 1) минус 2t(t минус 1) правая круглая скобка , знаменатель — t минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — t(t минус 1) левая круглая скобка {{t} в степени 2 } плюс t плюс 1 минус 2t правая круглая скобка , знаменатель — t минус 2 меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — t(t минус 1) левая круглая скобка {{t} в степени 2 } минус t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель — t минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — t(t минус 1), знаменатель — t минус 2 меньше или равно 0.

Перейдем к переменной x.

 дробь, числитель — корень из { x} умножить на ( корень из { x} минус 1), знаменатель — корень из { x минус 2} меньше или равно 0   равносильно    совокупность выражений  новая строка корень из { x}=0 , новая строка дробь, числитель — корень из { x} минус 1, знаменатель — корень из { x минус 2} меньше или равно 0 конец совокупности .   равносильно    совокупность выражений  новая строка x=0 , новая строка 1 меньше или равно корень из { x} меньше 2 конец совокупности .   равносильно    совокупность выражений  новая строка x=0 , новая строка 1 меньше или равно x меньше 4 . конец совокупности .

Итак, исходному неравенству удовлетворяют элементы множества  левая квадратная скобка 1;4 правая круглая скобка \cup \left\{ 0 \}.

 

 

Ответ:  левая квадратная скобка 1;4 правая круглая скобка \cup \left\{ 0 \}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 121.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Классификатор базовой части: 2.2.2 Рациональные неравенства, 2.2.9 Метод интервалов