Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511212

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AB в точке K, а катетов — в точках P и M.

а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна AK · BK.

б) Найдите площадь треугольника PKM, если известно, что AK = 12, BK = 5.

Решение.

а) Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, r — радиус этой окружности, PBC, MAC. Соединим О с вершинами треугольника А, В и С.

Докажем, что CMOP — квадрат.

По свойству касательной к окружности: OPBC, OMAC. Следовательно, MC || OP, OM || CP, значит, CMOP — параллелограмм.

CMOP — параллелограмм, ∠P = 90°, значит, CMOP — прямоугольник, CMOP — прямоугольник, OM = OP = r, значит, CMOP — квадрат.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки: BK = BP, AK = AM, MC = CP.

2S(ABC)=AC умножить на BC=(AM плюс r) умножить на (BP плюс r)=AM умножить на BP плюс BP умножить на r плюс AM умножить на r плюс {{r} в степени 2 }.

AM умножить на BP=AK умножить на BK,BP умножить на r=S(POKB),BP умножить на r=S(POKB),{{r} в степени 2 }=S(CMOP).

2S(ABC)=AM умножить на BP плюс BP умножить на r плюс AM умножить на r плюс {{r} в степени 2 }=

=AK умножить на BK плюс S(POKB) плюс S(AKOM) плюс S(CMOP)=AK умножить на BK плюс S(ABC).

То есть 2S(ABC) = AK · BK + S(ABC), откуда: S(ABC) = AK · BK, что и требовалось доказать.

б) Соединим точки M и K, M и P, P и K отрезками. Найдем r.

Очевидно, что

p(ABC)= дробь, числитель — 2AK плюс 2BK плюс 2r, знаменатель — 2 =AK плюс BK плюс r=r плюс 17.S(ABC)=pr=(r плюс 17)r.

Но как было доказано выше, S(ABC)=AK · BK = 60. Следовательно,

{{r} в степени 2 } плюс 17r=60 равносильно {{r} в степени 2 } плюс 17r минус 60=0 равносильно совокупность выражений  новая строка r= минус 20 , новая строка r=3 . конец совокупности .

Подходит r = 3.

Пусть ∠BAC = α, тогда:

\angle KOM={{180} в степени \circ } минус \alpha ,\angle ABC={{90} в степени \circ } минус \alpha ,\angle POM={{90} в степени \circ },\angle POK={{180} в степени \circ } минус {{90} в степени \circ } плюс \alpha ={{90} в степени \circ } плюс \alpha .

 

 синус \alpha = дробь, числитель — BC, знаменатель — AB = дробь, числитель — 8, знаменатель — 17 ; косинус \alpha = дробь, числитель — AC, знаменатель — AB = дробь, числитель — 15, знаменатель — 17 .

 

S(PMK)=S(POK) плюс S(KOM) плюс S(MOP)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 9 синус ({{90} в степени \circ } плюс \alpha ) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 9 синус ({{180} в степени \circ } минус \alpha ) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 9=

= дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 левая круглая скобка косинус \alpha плюс синус \alpha плюс 1 правая круглая скобка = дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 левая круглая скобка дробь, числитель — 15, знаменатель — 17 плюс дробь, числитель — 8, знаменатель — 17 плюс 1 правая круглая скобка = дробь, числитель — 9 умножить на 40, знаменатель — 2 умножить на 17 = дробь, числитель — 180, знаменатель — 17 .

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 180, знаменатель — 17 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 121.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих
Классификатор планиметрии: Треугольники