Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 511214

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение  дробь, числитель — a в степени 3 минус (x плюс 2)a в степени 2 плюс xa плюс x в степени 2 , знаменатель — a плюс x =0

имеет ровно один корень.

Решение.

Преобразуем исходное уравнение так:

 дробь, числитель — {{a} в степени 3 } минус (x плюс 2){{a} в степени 2 } плюс xa плюс {{x} в степени 2 }, знаменатель — a плюс x =0 равносильно дробь, числитель — {{a} в степени 3 } минус {{a} в степени 2 }x минус 2{{a} в степени 2 } плюс a плюс {{x} в степени 2 }, знаменатель — x плюс a =0 равносильно дробь, числитель — {{x} в степени 2 } минус ({{a} в степени 2 } минус a)x плюс {{a} в степени 3 } минус 2{{a} в степени 2 }, знаменатель — x плюс a =0.

 

Заданное уравнение будет иметь ровно один корень, если:

а) Дискриминант уравнения {{x} в степени 2 } минус ({{a} в степени 2 } минус a)x плюс {{a} в степени 3 } минус 2{{a} в степени 2 }=0* равен нулю и при этом x не равно минус a;

б) Дискриминант уравнения (*) больше нуля, и при этом один из корней этого уравнения равен — a.

Найдем дискриминант D уравнения (*).

D={{a} в степени 4 } минус 2{{a} в степени 3 } плюс {{a} в степени 2 } минус 4{{a} в степени 3 } плюс 8{{a} в степени 2 }={{a} в степени 4 } минус 6{{a} в степени 3 } плюс 9{{a} в степени 2 }={{a} в степени 2 }{{(a минус 3)} в степени 2 }.

Далее:

а)

{{a} в степени 2 }{{(a минус 3)} в степени 2 }=0 равносильно совокупность выражений  новая строка a=0 , новая строка a=3 конец совокупности .

Проверим пригодность полученных значений а.

При a=0 будем иметь:  дробь, числитель — {{x} в степени 2 }, знаменатель — x =0. Однако, это уравнение решений не имеет, значит, 0 не относится к числу искомых значений параметра.

При a=3

 дробь, числитель — 27 минус (x плюс 2) умножить на 9 плюс 3x плюс {{x} в степени 2 }, знаменатель — 3 плюс x =0 равносильно дробь, числитель — 27 минус 9x минус 18 плюс 3x плюс {{x} в степени 2 }, знаменатель — 3 плюс x =0 равносильно дробь, числитель — {{x} в степени 2 } минус 6 плюс 9, знаменатель — 3 плюс x =0 равносильно дробь, числитель — {{(x минус 3)} в степени 2 }, знаменатель — 3 плюс x =0 равносильно x=3.

 

x не равно минус a= минус 3.

Итак, 3 — искомое значение параметра.

2) Неравенству {{a} в степени 2 }{{(a минус 3)} в степени 2 } больше 0 удовлетворяют все значения а, за исключением 0 и 3. То есть уравнение (*) имеет два различных действительных корня при всех значениях а, отличных 0 и 3. Но нас интересует такое значение а, при котором один из корней упомянутого уравнения равен — a. Обозначим его x1. Другой же корень пусть будет x2, причем x1x2. Тогда в соответствии с теоремой Виета:

 система выражений  новая строка {{x}_{1}} плюс {{x}_{2}}={{a} в степени 2 } минус a , новая строка {{x}_{1}} умножить на {{x}_{2}}={{a} в степени 3 } минус 2{{a} в степени 2 } , конец системы .

т.е.

 система выражений  новая строка минус a плюс {{x}_{2}}={{a} в степени 2 } минус a , новая строка минус a умножить на {{x}_{2}}={{a} в степени 3 } минус 2{{a} в степени 2 } конец системы . равносильно система выражений  новая строка {{x}_{2}}={{a} в степени 2 } , новая строка минус a умножить на {{a} в степени 2 }={{a} в степени 3 } минус 2{{a} в степени 2 } конец системы . равносильно система выражений  новая строка {{x}_{2}}={{a} в степени 2 } , новая строка минус {{a} в степени 3 }={{a} в степени 3 } минус 2{{a} в степени 2 } конец системы . равносильно

 

 равносильно система выражений  новая строка {{x}_{2}}={{a} в степени 2 } , новая строка 2{{a} в степени 3 } минус 2{{a} в степени 2 }=0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка {{x}_{2}}={{a} в степени 2 } , новая строка 2{{a} в степени 2 }(a минус 1)=0 конец системы . равносильно система выражений x_2=a в степени 2 , совокупность выражений a=0,a=1. конец системы . конец совокупности .

Как было показано выше, значение a = 0 не подходит. Подходящим значением а является число 1. Убедимся в этом.

При a = 1 имеем:

 дробь, числитель — 1 минус x минус 2 плюс x плюс {{x} в степени 2 }, знаменатель — 1 плюс x =0 равносильно дробь, числитель — {{x} в степени 2 } минус 1, знаменатель — x плюс 1 =0 равносильно система выражений  новая строка x не равно минус 1 , новая строка x минус 1=0 конец системы . равносильно x=1.

Итак, при a = 1 одним из корней уравнения (*) является число 1, которое также является корнем уравнения, заданного условием. А другим же корнем уравнения (*) будет −a, равное −1, что не может служить корнем исходного уравнения.

 

Ответ: 1; 3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 121.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнения с параметром