Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511219

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.

а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.

б) Найдите угол MCL.

Решение.

Геометрический способ решения.

а) По теореме Пифагора: AB= корень из { A{{C} в степени 2 } плюс B{{C} в степени 2 }}= корень из { 13}.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, AM=BM= дробь, числитель — AB, знаменатель — 2 = дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 2 .

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:  дробь, числитель — BL, знаменатель — AL = дробь, числитель — BC, знаменатель — AC = дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 .

Если BL=2k, то AL=3k,AB=5k,k= дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 5 ,BL= дробь, числитель — 2 корень из { 13}, знаменатель — 5 ,AL= дробь, числитель — 3 корень из { 13}, знаменатель — 5 . BL меньше AL, значит, точка L лежит между M и В.

ML=BM минус BL= дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — 2 корень из { 13}, знаменатель — 5 = дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 10 .

 

Так как треугольники CML и ABC с основаниями ML и AB соответственно имеют равные высоты, проведенные к этим сторонам из их общей вершины С, то:

 дробь, числитель — S(ABC), знаменатель — S(CML) = дробь, числитель — AB, знаменатель — ML = корень из { 13}: дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 10 =10,

что и требовалось доказать.

 

б) Проведем MD — среднюю линию треугольника ACB. Тогда MD= дробь, числитель — AC, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .

\angle MCL= \angle MCD минус {{45} в степени \circ }. тангенс \angle MCL= тангенс (\angle MCD минус {{45} в степени \circ })= дробь, числитель — тангенс \angle MCD минус тангенс {{45} в степени \circ }, знаменатель — 1 плюс тангенс \angle MCD умножить на тангенс {{45 в степени \circ }}.

 тангенс \angle MCD= дробь, числитель — MD, знаменатель — CD = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 :1= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 =1,5;

 

 тангенс \angle MCL= дробь, числитель — 1,5 минус 1, знаменатель — 1 плюс 1,5 умножить на 1 = дробь, числитель — 0,5, знаменатель — 2,5 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ;\angle MCL=\arctg дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 .

 

Координатно-векторный способ решения.

Поместим заданный треугольник в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты некоторых точек: A(0; 3), B(2; 0).

а) По теореме Пифагора: AB= корень из { 13}.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:

AM=BM=M= дробь, числитель — AB, знаменатель — 2 = дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 2 .{{x}_{M}}= дробь, числитель — {{x}_{A}} плюс {{x}_{B}}, знаменатель — 2 =1;

{{y}_{M}}= дробь, числитель — {{y}_{A}} плюс {{y}_{B}}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 =1,5.M(1;1,5).

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:  дробь, числитель — AL, знаменатель — BL = дробь, числитель — AC, знаменатель — BC = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 =1,5.

Найдем координаты точки L используя формулы деление отрезка в данном отношении \lambda = дробь, числитель — AL, знаменатель — BL =1,5.

{{x}_{L}}= дробь, числитель — {{x}_{A}} плюс \lambda {{x}_{B}}, знаменатель — 1 плюс \lambda = дробь, числитель — 0 плюс 1,5 умножить на 2, знаменатель — 1 плюс 1,5 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2,5 = дробь, числитель — 30, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 ;{{y}_{L}}= дробь, числитель — {{y}_{A}} плюс \lambda {{y}_{B}}, знаменатель — 1 плюс \lambda = дробь, числитель — 3 плюс 1,5 умножить на 0, знаменатель — 1 плюс 1,5 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2,5 = дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 .L левая круглая скобка дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 правая круглая скобка .

 

CL= корень из { дробь, числитель — 36, знаменатель — 25 плюс дробь, числитель — 36, знаменатель — 25 }= дробь, числитель — 6 корень из { 2}, знаменатель — 5 .

\overline{CM}=\overline{ левая круглая скобка 1; дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая круглая скобка }, \overline{CL}=\overline{ левая круглая скобка дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 правая круглая скобка }. \overline{CM} умножить на \overline{CL}=1 умножить на дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 плюс дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 плюс дробь, числитель — 9, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 15, знаменатель — 5 =3.

 

 косинус \angle MCL= дробь, числитель — \overline{CM} умножить на \overline{CL}, знаменатель — |\overline{CM | умножить на |\overline{CL}|}= дробь, числитель — 3, знаменатель — дробь, числитель — корень из { 13 , знаменатель — { 2} умножить на дробь, числитель — 6 корень из { 2}, знаменатель — 5 }= дробь, числитель — 30, знаменатель — 6 корень из { 26 }= дробь, числитель — 5, знаменатель — корень из { 26 }; синус \angle MCL= корень из { 1 минус дробь, числитель — 25, знаменатель — 26 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 26 }.

 

S(MCL)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на CM умножить на CL умножить на синус \angle MCL= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — корень из { 13}, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 6 корень из { 2}, знаменатель — 5 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 26 }= дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 ;

 

S(ABC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на AC умножить на BC умножить на =3; дробь, числитель — S(CML), знаменатель — S(ABC) = дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 :3= дробь, числитель — 1, знаменатель — 10 ,

что и требовалось доказать.

б) \angle MCL=\arcsin дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 26 }.

 

Ответ: б) \arctg дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 122.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат, Свойства биссектрис, Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Треугольники