Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511240

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен  дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 . На гипотенузе AB взята точка H, а на катете AC — точка K. Известно, что прямая KH перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник ABC на две равновеликие части.

а) Докажите, что в четырехугольник KHBC можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что KH = 1.

Решение.

а) Найдём косинус угла A

 косинус A= корень из { 1 минус {{ синус } в степени 2 }A}= корень из { 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 }= корень из { дробь, числитель — 8, знаменатель — 9 }= дробь, числитель — 2 корень из { 2}, знаменатель — 3 .

Если AB=c, то AC=AB косинус A= дробь, числитель — 2c корень из { 2}, знаменатель — 3 .

Прямоугольные треугольники ACB и AHK, имеющие общий острый угол A, подобны. Отсюда:  дробь, числитель — AB, знаменатель — AK = дробь, числитель — AC, знаменатель — AH =k. Кроме того,  дробь, числитель — S(ACB), знаменатель — S(AHK) ={{k} в степени 2 }. Но по условию задачи известно, что  дробь, числитель — S(ACB), знаменатель — S(AHK) =2, значит, {{k} в степени 2 }=2,k= корень из { 2}. Тогда: AC= корень из { 2}AH;AB= корень из { 2}AK.

Далее:  корень из { 2}AH=AC= дробь, числитель — 2c корень из { 2}, знаменатель — 3 ;AH= дробь, числитель — 2c, знаменатель — 3 ;BH=AB минус AH= дробь, числитель — c, знаменатель — 3 .

В Δ ACB: BC=AB умножить на синус A= дробь, числитель — c, знаменатель — 3 . Итак, BH=BC.

AB= корень из { 2} умножить на AK,AB=c,c=AK корень из { 2};AK= дробь, числитель — c, знаменатель — корень из { 2 }= дробь, числитель — c корень из { 2}, знаменатель — 2 . KC=AC минус AK= дробь, числитель — 2c корень из { 2}, знаменатель — 3 минус дробь, числитель — c корень из { 2}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 4c корень из { 2} минус 3c корень из { 2}, знаменатель — 6 = дробь, числитель — c корень из { 2}, знаменатель — 6 .

В Δ AHK: KH=AK умножить на синус A= дробь, числитель — c корень из { 2} умножить на 1, знаменатель — 2 умножить на 3 = дробь, числитель — c корень из { 2}, знаменатель — 6 . Значит, KC=KH.

В четырехугольнике KHBC: BC = BH, KH = KC, BC + KH = BH + KC откуда в четырехугольник KHBC можно вписать окружность.

б) Известно: KH = 1. Было получено: KH= дробь, числитель — c корень из { 2}, знаменатель — 6 , значит: c корень из { 2}=6;c= дробь, числитель — 6, знаменатель — корень из { 2 }=3 корень из { 2}.

BH= дробь, числитель — c, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 3 корень из { 2}, знаменатель — 3 = корень из { 2}.p(KHBC)=BH плюс KH= корень из { 2} плюс 1.

S(KHBC)=S(AHK)= дробь, числитель — KH умножить на AH, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 2 умножить на 3 корень из { 2}, знаменатель — 2 умножить на 3 = корень из { 2}.

r= дробь, числитель — S(KHBC), знаменатель — p = дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — корень из { 2 плюс 1}=2 минус корень из { 2}.

 

Ответ: б) 2 минус корень из { 2}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 125.
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в четырехугольник, Подобие, Треугольники