СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 511243

Саша вычислил произведение всех натуральных чисел от 1 до 52 включительно и записал на доске ответ. Однако две цифры (они отмечены символами x и у) он написал неразборчиво, а все стоящие в конце нули стёр. В результате на доске оказалось число 806581751709438785716606368564037669752895054408832778ух.

а) Сколько нулей стёр ученик?

б) Найдите цифру, отмеченную символом х.

в) Найдите цифру, отмеченную символом у.

Решение.

Разложим произведение 52! на простые множители:

а) Так как 0 на конце появляется только при умножении 2 на 5, причем число 2 входит в разложение в 49-й степени, а 5 входит в 12-й степени, нулей было 12.

б) Будем возводить все множители в указанную степень (2 — в 49-ю, 3 — в 23-ю, ..., 47 — 1-ю), следя только за последними цифрами, и перемножим последние цифры полученных чисел. Например, 25 заканчивается на 2, поэтому число 249 = (25)5 · (25)4 · 24 заканчивается той же цифрой, что произведение 2 · 2 · 16, то есть на 4. Проделав указанные вычисления, найдем последнюю цифру исходного числа: х = 4.

в) Проделаем те же операции, что в предыдущем пункте, следя за двумя последними цифрами сомножителей. Получим число, две последние цифры которого 24. Поэтому y = 4.

 

Ответ: а) 12; б) 4; в) 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.