СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511245

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 8, BC = 6, AA1 = 12. Точка K — середина ребра AD, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 1 : 2.

а) Докажите, что прямая BD1 параллельна плоскости CKM.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью CKM.

Решение.

а) Поместим заданный параллелепипед в декартову систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек: K(3; 0; 0), C(0; 8; 0), M(0; 0; 4), B(6; 8; 0), D1(0; 0; 12).

Будем искать уравнение плоскости CKM.

Нормальный вектор (CKM):

Таким образом, а это значит, что

б) Теперь найдем косинус угла между плоскостью CKM и нижним основанием параллелепипеда, уравнение которого имеет вид: z = 0. Нормальный вектор этой плоскости, т. е. нижнего основания параллелепипеда:

Если φ — искомый угол, то:

 

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Параллельность прямой и плоскости, Площадь сечения, Прямоугольный параллелепипед, Сечение, проходящее через три точки