Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 511246

Решите неравенство  логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: 5 минус x, знаменатель: 4 минус x конец дроби \leqslant1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате минус 9x плюс 20 конец дроби

Спрятать решение

Решение.

Найдем ограничения на x.

 система выражений  новая строка x не равно 1 , новая строка x не равно 2 , новая строка x не равно 3 , новая строка дробь: числитель: x минус 5, знаменатель: x минус 4 конец дроби больше 0  конец системы . равносильно система выражений  новая строка x не равно 1 , новая строка x не равно 2 , новая строка x не равно 3 , новая строка совокупность выражений  новая строка x меньше 4 , новая строка x больше 5 . конец системы . конец совокупности .

Далее заданное неравенство будем рассматривать только на множестве M = (−∞; 1)∪(1; 2)∪(2; 3)∪(3; 4)∪(5;+∞).

 

На M:

\log _ левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: 5 минус x, знаменатель: 4 минус x конец дроби меньше или равно 1 плюс \log _ левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате минус 9x плюс 20 конец дроби равносильно
 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _|x минус 2||x минус 5| минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _|x минус 2||x минус 4| меньше или равно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _|x минус 2||x минус 5| минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _|x минус 2||x минус 4| равносильно

 

 равносильно \log _|x минус 2||x минус 5| меньше или равно 1 равносильно \log _|x минус 2||x минус 5| меньше или равно \log _|x минус 2||x минус 2| равносильно левая круглая скобка |x минус 2| минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка |x минус 5| минус |x минус 2| правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно левая круглая скобка x минус 2 минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 минус x плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 плюс x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x минус 7 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 3,5 правая круглая скобка больше или равно 0.

Последнее неравенство решим методом интервалов.

 

Интервалы(−∞; 1)(1; 3)(3; 3,5)(3,5; +∞)
Знак рационального выражения++

 

С учетом ограничений на х получим множество решений исходного неравенства: (1; 2)∪(2; 3)∪[ 3,5; 4)∪(5; +∞).

 

Ответ:  левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3,5;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 126.
Методы алгебры: Метод интервалов