Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511247

Точка M лежит на диаметре AB окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем ∠CMA = ∠DMB.

а) Докажите, что ∠OCM = ∠ODM.

б) Найдите площадь четырехугольника COMD, если известно, что OM = 4, BM = 2, ∠CMA = ∠DMB = 45°.

Решение.

а) Продолжим отрезок DM за точку M до пересечения с окружностью в точке P (см. рис.) Соединим центр окружности — точку О, с точками P и С — отрезками. ∠DMB = ∠OMP как вертикальные, ∠DMB = ∠CMO по условию, следовательно, ∠OMP = ∠OMC.

Любая окружность симметрична сама себе относительно всякой прямой, проходящей через ее центр.

Рассмотрим симметрию относительно диаметра AB. При этом:

– точки А, О, M и В, отрезок OM перейдут сами на себя;

– поскольку ∠OMP = ∠M, луч МС MP перейдет на луч MP;

– полуокружность ACB перейдет на полуокружность APB, общая точка луча МС и полуокружности ACB перейдет в общую точку луча MP и полуокружности APB, т. е. точка С перейдет в точку P;

– отрезок ОС перейдет на отрезок OP, ∠OCM — на ∠ OPM. Следовательно, ∠ OCM = ∠OPM.

Но Δ POD — равнобедренный, поскольку OP = OD как радиусы одной и той же окружности. Значит, ∠OPM = ∠ODM. Отсюда: ∠OCM = ∠ODM, что и требовалось доказать.

б) Найдём угол CMD:

\angle CMD={{180} в степени \circ } минус (\angle CMO плюс \angle DMB)={{180} в степени \circ } минус {{90} в степени \circ }={{90} в степени \circ }.

В Δ OMD: ∠OMD = 135°, по теореме косинусов:

O{{D} в степени 2 }=O{{M} в степени 2 } плюс M{{D} в степени 2 } минус 2OM умножить на MD умножить на косинус {{135} в степени \circ }=16 плюс M{{D} в степени 2 } плюс 2 умножить на 4MD умножить на дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 .

 

M{{D} в степени 2 } плюс 4 корень из { 2}MD плюс 16 минус 36=0;M{{D} в степени 2 } плюс 4 корень из { 2}MD минус 20=0.

Найдем положительный корень этого уравнения.

MD= минус 2 корень из { 2} плюс корень из { 8 плюс 20}= корень из { 28} минус 2 корень из { 2}=2 корень из { 7} минус 2 корень из { 2}.

В Δ COM по теореме косинусов:

C{{O} в степени 2 }=C{{M} в степени 2 } плюс O{{M} в степени 2 } минус 2CM умножить на OM умножить на косинус {{45} в степени \circ }=C{{M} в степени 2 } плюс 16 минус 2 умножить на CM умножить на 4 умножить на дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 .

C{{M} в степени 2 } минус 4 корень из { 2}CM плюс 16 минус 36=0;C{{M} в степени 2 } минус 4 корень из { 2}CM минус 20=0.

 

Положительный корень этого уравнения будет равен

CM=2 корень из { 2} плюс корень из { 8 плюс 20}=2 корень из { 7} плюс 2 корень из { 2}=2( корень из { 7} плюс корень из { 2}).

S(COMD)=S(COM) плюс S(CMD)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на OM умножить на CM умножить на синус {{45} в степени \circ } плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 MD умножить на CM=

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CM(OM умножить на синус {{45} в степени \circ } плюс MD)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 2 левая круглая скобка корень из { 7} плюс корень из { 2} правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 умножить на дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 плюс 2 корень из { 7} минус 2 корень из { 2} правая круглая скобка =

= левая круглая скобка корень из { 7} плюс корень из { 2} правая круглая скобка умножить на 2 корень из { 7}=14 плюс 2 корень из { 14}.

 

Приведём другое решение:

а) Продолжим DM до пересечения с окружностью в точке N (см. рис.). Соединим центр окружности — точку О с точкой С — отрезком. Опустим из точки О перпендикуляры к отрезкам СМ и DN, основания перпендикуляров обозначим H и T соответственно. Обозначим некоторые углы, ∠1, ∠2 и ∠3, как показано на рисунке.

∠2 = ∠3 как вертикальные, ∠2 = ∠1 по условию, следовательно, ∠1 = ∠3. Прямоугольные треугольники MHO и MTO равны по общей гипотенузе ОМ и острому углу (∠1 = ∠3), откуда OH = OT.

Рассмотрим прямоугольные треугольники OHC и OTD. Они равны по гипотенузе и катету, поскольку OH = OT по только что доказанному, OC = OD как радиусы одной и той же окружности. Отсюда: ∠OCM = ∠ODM, что и требовалось доказать.

б) По условию и доказанному выше: ∠2 = ∠1 = ∠3 = 45°. Следовательно, ∠MD = 180° − (45° + 45°) = 90°. ∠HOM = 90° − 45° = 45°. Значит, OH = MH. Аналогично OT = MT. Из совокупности полученных результатов имеем: OHMT — квадрат.

HM=OM умножить на косинус \angle 1= дробь, числитель — 4 корень из { 2}, знаменатель — 2 =2 корень из { 2};CH= корень из { C{{O} в степени 2 } минус O{{H} в степени 2 }}= корень из { 36 минус 8}= корень из { 28}=2 корень из { 7}.

CM=CH плюс HM=2 корень из { 7} плюс 2 корень из { 2}=2( корень из { 7} плюс корень из { 2}).

 косинус \angle SDM= косинус \angle OCH= дробь, числитель — CH, знаменатель — CO = дробь, числитель — 2 корень из { 7}, знаменатель — 6 = дробь, числитель — корень из { 7}, знаменатель — 3 .

В Δ SMD, где ∠SMD = 90°,  синус \angle DSM= косинус \angle SDM= дробь, числитель — корень из { 7}, знаменатель — 3 .

S(COMD)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CM умножить на OD умножить на синус \angle DSM= дробь, числитель — 2( корень из { 7} плюс корень из { 2}) умножить на 6 умножить на корень из { 7}, знаменатель — 2 умножить на 3 =14 плюс 2 корень из { 14}

 

Ответ: б) 14 плюс 2 корень из { 14}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 126.
Методы геометрии: Теорема косинусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности