Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 511272

Найдите все корни уравнения sin(2x) = 1, удовлетворяющие неравенству |2 в степени x минус 1| плюс |2 в степени x минус 8|\le7.

Решение.

Последовательно получаем:

 синус ({{2} в степени x })=1 равносильно {{2} в степени x }= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно {{2} в степени x }={{2} в степени {{\log _{2}} левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс 2 Пи n правая круглая скобка }}|n больше или равно 0,n принадлежит Z равносильно x={{\log }_{2}} левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс 2 Пи n правая круглая скобка |n больше или равно 0,n принадлежит Z .

Для решения неравенства \left| {{2} в степени x } минус 1 | плюс \left| {{2} в степени x } минус 8 | меньше или равно 7 воспользуемся геометрическим смыслом модуля. Левая ее часть на числовой прямой представляет собой сумму расстояний от точки  левая круглая скобка {{2} в степени x } правая круглая скобка до точек (1) и (8) не больше 7. Следовательно, верно неравенство

1 меньше или равно {{2} в степени x } меньше или равно 8 равносильно {{2} в степени 0 } меньше или равно {{2} в степени x } меньше или равно {{2} в степени 3 } равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно 3.

Теперь найдем целочисленные значения x, удовлетворяющие условию 0 меньше или равно x меньше или равно 3.

Если n = 0, то: x={{\log }_{2}} дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 . Ясно, что {{\log }_{2}} дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 больше 0. Докажем, что {{\log }_{2}} дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 меньше 3.

{{\log }_{2}} дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 меньше 3 равносильно {{\log }_{2}} дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 меньше {{\log }_{2}}8 равносильно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 меньше 8 равносильно Пи меньше 16

(неравенство очевидное).

Если n = 1, то x={{\log }_{2}} левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс 2 Пи правая круглая скобка ={{\log }_{2}} дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 . Очевидно, что {{\log }_{2}} дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 больше 0. Докажем, что {{\log }_{2}} дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 меньше 3. Действительно, {{\log }_{2}} дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 меньше 3  равносильно  дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 меньше 8  равносильно 5 Пи меньше 16  равносильно  Пи меньше 3,2. Получили очевидное неравенство.

Заметим, что при n больше или равно 2 будет выполнено неравенство x больше 3. Действительно, уже при n=2 имеем:

{{\log }_{2}} дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 2 больше 3 равносильно дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 2 больше 8 равносильно 9 Пи больше 16 равносильно Пи больше дробь, числитель — 16, знаменатель — 9

(неравенство очевидное).

 

 

Ответ: {{\log }_{2}} дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 , {{\log }_{2}} дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнение с модулем
Классификатор базовой части: 2.1.4 Тригонометрические уравнения, 2.1.5 Показательные уравнения