СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511273

Все плоские углы при вершине S пирамиды SABC прямые.

а) Докажите, что точка S, точка пересечения медиан треугольника ABC и точка, равноудаленная от вершин пирамиды (центр описанной сферы), лежат на одной прямой.

б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

Решение.

а) Поместим пирамиду в декартову систему координат с началом S, как показано на рисунке. В качестве вершины пирамиды выберем точку А.

И пусть вершины пирамиды представляются точками:

Точка О — место пересечения медиан грани ABC, A1 — середина отрезка BC.

Пусть центр сферы с радиусом R, описанной около пирамиды, есть точка (m; n; p). Тогда уравнение сферы будет иметь вид: Поскольку точки S, A, B, C лежат на этой сфере, их коррдинаты удовлетворяют уравнению сферы. Тогда будем иметь систему

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

Аналогично вычислим: Теперь найдем координаты точки О. Ясно, что:

 

Уравнение прямой SO будет иметь вид:

или

Если центр описанной окружности принадлежит прямой SO, то координаты точки обязаны удовлетворять полученноой системе. Проверим.

Получены верные равенства. Требуемое доказано.

 

б) По услвию задачи имеем:

Вычислим стороны треугольника ABC:

 

Проведем соедиим отрезком точки S и D. По теореме о трех перпендикулярах: значит,

Искомый радиус r сферы, вписанной в пирамиду, вычислим по формуле:

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.