Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511273

Все плоские углы при вершине S пирамиды SABC прямые.

а) Докажите, что точка S, точка пересечения медиан треугольника ABC и точка, равноудаленная от вершин пирамиды (центр описанной сферы), лежат на одной прямой.

б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

Решение.

а) Поместим пирамиду в декартову систему координат с началом S, как показано на рисунке. В качестве вершины пирамиды выберем точку А.

И пусть вершины пирамиды представляются точками: A(0;0;{{z}_{a}}),B({{x}_{b}};0;0),C(0;{{y}_{c}};0).

Точка О — место пересечения медиан грани ABC, A1 — середина отрезка BC. {{A}_{1}} левая круглая скобка дробь, числитель — {{x}_{b}}, знаменатель — 2 ; дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 2 ;0 правая круглая скобка .

Пусть центр сферы с радиусом R, описанной около пирамиды, есть точка (m; n; p). Тогда уравнение сферы будет иметь вид: {{(x минус m)} в степени 2 } плюс {{(y минус n)} в степени 2 } плюс {{(z минус p)} в степени 2 }={{R} в степени 2 }. Поскольку точки S, A, B, C лежат на этой сфере, их коррдинаты удовлетворяют уравнению сферы. Тогда будем иметь систему

 левая круглая скобка \begin{align} новая строка S , новая строка A , новая строка B , новая строка C \end{align} правая круглая скобка : система выражений  новая строка {{(0 минус m)} в степени 2 } плюс {{(0 минус n)} в степени 2 } плюс {{(0 минус p)} в степени 2 }={{R} в степени 2 } , новая строка {{(0 минус m)} в степени 2 } плюс {{(0 минус n)} в степени 2 } плюс {{({{z}_{a}} минус p)} в степени 2 }={{R} в степени 2 } , новая строка {{({{x}_{b}} минус m)} в степени 2 } плюс {{(0 минус n)} в степени 2 } плюс {{(0 минус p)} в степени 2 }={{R} в степени 2 } , новая строка {{(0 минус m)} в степени 2 } плюс {{({{y}_{c}} минус n)} в степени 2 } плюс {{(0 минус p)} в степени 2 }={{R} в степени 2 } конец системы . равносильно система выражений  новая строка {{m} в степени 2 } плюс {{n} в степени 2 } плюс {{p} в степени 2 }={{R} в степени 2 } , новая строка {{m} в степени 2 } плюс {{n} в степени 2 } плюс {{z}_{a}} в степени 2 минус 2{{z}_{a}}p плюс {{p} в степени 2 }={{R} в степени 2 } , новая строка {{x}_{b}} в степени 2 минус 2{{x}_{b}}m плюс {{m} в степени 2 } плюс {{n} в степени 2 } плюс {{p} в степени 2 }={{R} в степени 2 } , новая строка {{m} в степени 2 } плюс {{y}_{c}} в степени 2 минус 2{{y}_{c}}n плюс {{n} в степени 2 } плюс {{p} в степени 2 }={{R} в степени 2 }. конец системы .

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

z_{a} в степени 2 минус 2{{z}_{a}}p=0 равносильно 2{{z}_{a}}p=z_{a} в степени 2 равносильно p= дробь, числитель — {{z}_{a}}, знаменатель — 2 .

Аналогично вычислим: m= дробь, числитель — {{x}_{b}}, знаменатель — 2 ; больше n= дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 2 . Теперь найдем координаты точки О. Ясно, что:

\overline{A{{A}_{1}}}= левая круглая скобка дробь, числитель — {{x}_{b}}, знаменатель — 2 ; дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 2 ; минус {{z}_{a}} правая круглая скобка ,\overline{AO}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 \overline{A{{A}_{1}}}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 умножить на левая круглая скобка \overline{ дробь, числитель — {{x}_{b}}, знаменатель — 2 ; дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 2 ; минус {{z}_{a}}} правая круглая скобка .

 

{{x}_{O}}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — {{x}_{b}}, знаменатель — 2 плюс {{x}_{a}}= дробь, числитель — {{x}_{b}}, знаменатель — 3 плюс 0= дробь, числитель — {{x}_{b}}, знаменатель — 3 ; {{y}_{O}}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 2 плюс {{y}_{a}}= дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 3 плюс 0= дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 3 ; {{z}_{O}}= минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 {{z}_{a}} плюс {{z}_{a}}= дробь, числитель — {{z}_{a}}, знаменатель — 3 .

Уравнение прямой SO будет иметь вид:

 дробь, числитель — x минус {{x}_{S}}, знаменатель — {{x _{O}} минус {{x}_{S}}}= дробь, числитель — y минус {{y}_{S}}, знаменатель — {{y _{O}} минус {{y}_{S}}}= дробь, числитель — z минус {{z}_{S}}, знаменатель — {{z _{O}} минус {{z}_{S}}}

или

 дробь, числитель — 3x, знаменатель — {{x _{b}}}= дробь, числитель — 3y, знаменатель — {{y _{c}}}= дробь, числитель — 3z, знаменатель — {{z _{a}}} равносильно дробь, числитель — x, знаменатель — {{x _{b}}}= дробь, числитель — y, знаменатель — {{y _{c}}}= дробь, числитель — z, знаменатель — {{z _{a}}} равносильно система выражений  новая строка x{{y}_{c}}=y{{x}_{b}} , новая строка y{{z}_{a}}=z{{y}_{c}} . конец системы .

Если центр описанной окружности принадлежит прямой SO, то координаты точки  левая круглая скобка дробь, числитель — {{x}_{b}}, знаменатель — 2 ; дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 2 ; дробь, числитель — {{z}_{a}}, знаменатель — 2 правая круглая скобка обязаны удовлетворять полученноой системе. Проверим.

 система выражений  новая строка дробь, числитель — {{x}_{b}}, знаменатель — 2 умножить на {{y}_{c}}= дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 2 умножить на {{x}_{b}} , новая строка дробь, числитель — {{y}_{c}}, знаменатель — 2 умножить на {{z}_{a}}= дробь, числитель — {{z}_{a}}, знаменатель — 2 {{y}_{c}} . конец системы .

Получены верные равенства. Требуемое доказано.

 

б) По услвию задачи имеем: {{x}_{b}}=3;{{y}_{c}}=4;{{z}_{a}}=2.

V(ASBC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S(SBC) умножить на A{{A}_{1}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 SB умножить на SC умножить на A{{A}_{1}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 умножить на 24=4.

Вычислим стороны треугольника ABC:

BC= корень из { B{{S} в степени 2 } плюс S{{C} в степени 2 }}= корень из { 9 плюс 16}=5;

A= корень из { B{{S} в степени 2 } плюс S{{A} в степени 2 }}= корень из { 9 плюс 4}= корень из { 13};

AC= корень из { C{{S} в степени 2 } плюс S{{A} в степени 2 }}= корень из { 16 плюс 4}= корень из { 20}=2 корень из { 5}.

 

Проведем AD\bot BC,D принадлежит BC; соедиим отрезком точки S и D. По теореме о трех перпендикулярах: SD\bot BC, значит,

SD= дробь, числитель — BS умножить на SC, знаменатель — BC = дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 ;

AD= корень из { S{{A} в степени 2 } плюс S{{D} в степени 2 }}= корень из { 4 плюс дробь, числитель — 144, знаменатель — 25 }= корень из { дробь, числитель — 244, знаменатель — 25 }= дробь, числитель — 2 корень из { 61}, знаменатель — 5 .

S(ABC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BC умножить на AD= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 5 умножить на дробь, числитель — 2 корень из { 61}, знаменатель — 5 = корень из { 61}.

Искомый радиус r сферы, вписанной в пирамиду, вычислим по формуле:

r= дробь, числитель — 3V(ASBC), знаменатель — {{S _{полн.}}},

{{S}_{полн.}}=S(ASB) плюс S(ASC) плюс S(BSC) плюс S(ABC)= дробь, числитель — 6 плюс 8 плюс 12, знаменатель — 2 плюс корень из { 61}=13 плюс корень из { 61}.

r= дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 плюс корень из { 61 }.

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 плюс корень из { 61 }.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Треугольная пирамида