Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C3 № 511274

Решите неравенство x в степени 2 плюс x корень из { 3 минус 3x в степени 2 }\ge0,5 плюс x.

Решение.

Найдем ограничения на x:

3 минус 3{{x} в степени 2 } больше или равно 0 равносильно 3 минус 3{{x} в степени 2 } больше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1.

Таким образом, переменная, находящаяся под знаком радикала, пробегает все значения из  левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка . Это позволяет сделать замену переменной x= синус t,  минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 меньше или равно t меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 .

{{ синус } в степени 2 }t плюс корень из { 3} синус t корень из { 1 минус {{ синус } в степени 2 }t} минус 0,5 минус синус t больше или равно 0 равносильно 2{{ синус } в степени 2 }t плюс 2 корень из { 3} синус t умножить на косинус t минус 1 минус 2 синус t больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно 1 минус косинус 2t плюс корень из { 3} синус 2t минус 1 минус 2 синус t больше или равно 0 равносильно 2 левая круглая скобка дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 синус 2t минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 косинус 2t правая круглая скобка минус 2 синус t больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно левая круглая скобка синус 2t умножить на косинус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 минус синус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 косинус 2t правая круглая скобка минус синус t больше или равно 0 равносильно синус левая круглая скобка 2t минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 правая круглая скобка минус синус t больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно 2 косинус дробь, числитель — 2t минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс t, знаменатель — { 2} синус дробь, числитель — 2t минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 минус t, знаменатель — { 2} больше или равно 0 равносильно косинус левая круглая скобка дробь, числитель — 3t, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка синус левая круглая скобка дробь, числитель — t, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка больше или равно 0.

Теперь рассмотрим функцию f(t)= косинус левая круглая скобка дробь, числитель — 3t, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка синус левая круглая скобка дробь, числитель — t, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка больше или равно 0 с целью решения неравенства f(t) больше или равно 0 методом интервалов на множестве  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Найдем нули f(t):

 косинус левая круглая скобка дробь, числитель — 3t, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений  новая строка дробь, числитель — 3t, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 = дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 , новая строка дробь, числитель — 3t, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 = минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка 18t минус Пи =6 Пи , новая строка 18t минус Пи = минус 6 Пи конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка 18t=7 Пи , новая строка 18t= минус 5 Пи конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка t= дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 18 , новая строка t= минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 18 ; конец совокупности .

 

 синус левая круглая скобка дробь, числитель — t, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка =0 равносильно дробь, числитель — t, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 =0 равносильно t= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 .

Найденные нули функции делят отрезок  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка на промежутки знакопостоянства функции f(t). Найдем эти знаки.

f левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка умножить на синус левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка умножить на синус левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 правая круглая скобка = синус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 умножить на синус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 больше 0.

Мы нашли знак функции на самом удобном интервале, на остальных интервалах знаки определим используя принцип их поочередного чередования:

f(t) больше или равно 0 на  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 18 правая квадратная скобка и на  левая квадратная скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 ; дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 18 правая квадратная скобка .

Поскольку  синус левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая круглая скобка = минус 1, синус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; минус синус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 18 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; синус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 18 правая квадратная скобка .

 

Ответ:  левая квадратная скобка минус 1; минус синус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 18 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; синус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 18 правая квадратная скобка .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Иррациональные неравенства
Методы алгебры: Тригонометрическая замена