Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511275

В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — основания, проведены: 1) биссектриса угла B; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD.

а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.

б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC = 8, AD = 18.

Решение.

а) Задачу решим с максимально возможным привлечением метода координат. Поместим трапецию в декартову систему координат, как показано на рисунке.

 

 

Пусть: r — радиус вписанной окружности; {{x}_{1}},{{x}_{2}} — абсциссы вершин D и C соответственно, E принадлежит AD,CE\bot AD,F — середина отрезка CD. Тогда:

A( минус {{x}_{1}}; минус r),B( минус {{x}_{2}};r),C({{x}_{2}};r),

D({{x}_{1}}; минус r),E({{x}_{2}}; минус r),F левая круглая скобка дробь, числитель — {{x}_{1}} плюс {{x}_{2}}, знаменатель — 2 ;0 правая круглая скобка .

Уравнение прямой AD:y= минус r.

Найдем угловой коэффициент {{k}_{1}}прямой АВ. {{k}_{1}}= дробь, числитель — {{y}_{B}} минус {{y}_{A}}, знаменатель — {{x _{B}} минус {{x}_{A}}}= дробь, числитель — 2r, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}}.

Уравнение прямой, проходящей через точку F, параллельно прямой АВ, имеет вид:

y= дробь, числитель — 2r, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}}(x минус {{x}_{F}});y= дробь, числитель — 2r, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}} левая круглая скобка x минус дробь, числитель — {{x}_{1}} плюс {{x}_{2}}, знаменатель — 2 правая круглая скобка ;y= дробь, числитель — 2r, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}} умножить на x минус дробь, числитель — r({{x}_{1}} плюс {{x}_{2}}), знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}}.

Найдем точку пересечения этой прямой и прямой AD, для чего решим систему:

 система выражений  новая строка y= минус r , новая строка y= дробь, числитель — 2r, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}}x минус дробь, числитель — r({{x}_{1}} плюс {{x}_{2}}), знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}} конец системы . равносильно система выражений  новая строка y= минус r , новая строка минус r= дробь, числитель — 2r, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}}x минус дробь, числитель — r({{x}_{1}} плюс {{x}_{2}}), знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}} конец системы . равносильно система выражений  новая строка y= минус r , новая строка дробь, числитель — 2, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}}x= дробь, числитель — {{x}_{1}} плюс {{x}_{2}}, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}} минус 1 конец системы . равносильно

 

 равносильно система выражений  новая строка y= минус r , новая строка дробь, числитель — 2, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}}x= дробь, числитель — {{x}_{1}} плюс {{x}_{2}} минус {{x}_{1}} плюс {{x}_{2}}, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}} конец системы . равносильно система выражений  новая строка y= минус r , новая строка дробь, числитель — 2x, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}}= дробь, числитель — 2{{x}_{2}}, знаменатель — {{x _{1}} минус {{x}_{2}}} конец системы . равносильно система выражений  новая строка y= минус r , новая строка x={{x}_{2}} . конец системы .

 

Таким образом, оказалось, что найденная прямая пересекает прямую AD в точке ({{x}_{2}}; минус r).

Так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла В, то, зная координаты точек В и О, можно получить уравнение биссектрисы.

 дробь, числитель — y минус {{y}_{B}}, знаменатель — {{y _{O}} минус {{y}_{B}}}= дробь, числитель — x минус {{x}_{B}}, знаменатель — {{x _{O}} минус {{x}_{B}}};

 

 дробь, числитель — y минус r, знаменатель — 0 минус r = дробь, числитель — x плюс {{x}_{2}}, знаменатель — 0 плюс {{x _{2}}} равносильно минус дробь, числитель — y, знаменатель — r плюс 1= дробь, числитель — x, знаменатель — {{x _{2}}} плюс 1 равносильно {{x}_{2}}r= минус rx равносильно y= минус дробь, числитель — r, знаменатель — {{x _{2}}}x.

 

Теперь найдем координаты пересечения прямых AD и BO.

 система выражений  новая строка y= минус r , новая строка y= минус дробь, числитель — r, знаменатель — {{x _{2}}}x конец системы . равносильно система выражений  новая строка y= минус r , новая строка минус r= минус дробь, числитель — r, знаменатель — {{x _{2}}}x конец системы . равносильно система выражений  новая строка y= минус r , новая строка дробь, числитель — x, знаменатель — {{x _{2}}}=1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка y= минус r , новая строка x={{x}_{2}} . конец системы .

Оказалось, что биссектриса угла В пересекает прямую AD в точке ({{x}_{2}}; минус r).

Доказательство требуемого завершено.

 

б) Из условия получим: {{x}_{1}}=9;{{x}_{2}}=4. По признаку окружности , вписанной в четырехугольник:

2AB=AD плюс BC=26;AD=AB=13.

E= корень из { C{{D} в степени 2 } минус D{{E} в степени 2 }}= корень из { 169 минус 25}=12.

Это — с одной стороны, с другой же стороны — CE=2r. Значит, r=6.

Очевидно, центры обеих окружностей лежат на оси симметрии трапеции. Обозначим центр описанной окружности K. Она лежит на пересечении серединного перпендикуляра к прямой СD и прямой x=0. Угловой коэффициент {{k}_{2}} прямой CD: {{k}_{2}}= дробь, числитель — {{y}_{D}} минус {{y}_{C}}, знаменатель — 5 = минус дробь, числитель — 2r, знаменатель — 5 = минус дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 .

 

А угловой коэффициент {{k}_{3}}прямой, перпендикулярной CD, будет:

{{k}_{3}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — {{k _{2}}}= минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 12 .

Уравнение прямой, проходящей через точку F с угловым коэффициентом {{k}_{3}} будет иметь вид: y минус {{y}_{F}}={{k}_{3}}(x минус {{x}_{F}}) или y= минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 12 левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 13, знаменатель — 2 правая круглая скобка .

Теперь найдем координаты точки K (точки пересечения оси симметрии трапеции и серединного перпендикуляра к отрезку BD).

 система выражений  новая строка x=0 , новая строка y= минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 12 умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — 13, знаменатель — 2 правая круглая скобка = дробь, числитель — 65, знаменатель — 24 . конец системы .

Найденная ордината точки K и будет равна расстоянию между центрами двух окружностей.

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 65, знаменатель — 24 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор планиметрии: Многоугольники, Окружности и системы окружностей, Окружность, вписанная в четырехугольник