Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 511277

Парабола p2 симметрична параболе p1, заданной уравнением y = ax2 (a > 0), относительно точки T(b; ab2), b > 0. Некоторая прямая пересекает каждую параболу ровно в одной точке: p1 — в точке A1, p2 — в точке A2 так, что угол A1A2T прямой. Касательная к параболе p1, проведенная в точке T, пересекает прямую A1A2 в точке K. Найдите отношение, в котором точка K делит отрезок A1A2.

Решение.

Вершина параболы {{p}_{1}} — точка {{O}_{1}}(0;0). Поскольку вершина {{O}_{2}} параболы {{p}_{2}} симметрична вершине параболы {{p}_{1}} относительно точки T, то зная координаты точки T, легко получим координаты вершины параболы {{p}_{2}}:{{O}_{2}}(2b;2a{{b} в степени 2 }).

В условии задачи говорится о прямой {{A}_{1}}{{A}_{2}}, не совпадающей с их общей касательной и пересекающей каждую из заданных парабол в ровно в одной точке. Отсюда ясно, что эта прямая обязана быть параллельной оси ординат.

Кроме того, угол {{A}_{1}}{{A}_{2}}T равен {{90} в степени \circ }, только в том случае, если ординаты точек Т и {{}_{2}}совпадут. Следовательно, {{y}_{{{A}_{2}}}}={{y}_{T}}=a{{b} в степени 2 }. А это значит, что осью симметрии параболы {{p}_{2}} служит прямая x=2b. Абсциссой точки {{A}_{2}} будет 3b. Так как абсциссы точек {{A}_{1}} и {{}_{2}} должны совпасть, то ордината точки {{A}_{1}} равна 9a{{b} в степени 2 }.

Итак, имеем: {{A}_{1}}(3b;9a{{b} в степени 2 }),{{A}_{2}}(3b;a{{b} в степени 2 }),{{A}_{1}}{{A}_{2}}=8a{{b} в степени 2 }.

Прямая TK — касательная к параболе {{p}_{1}} (T — точка касания). Ее уравнение будет иметь вид: y=f({{x}_{0}}) плюс {f}'({{x}_{0}}) умножить на (x минус {{x}_{0}}), где

{{x}_{0}}=b;f({{x}_{0}})=a{{b} в степени 2 };{f}'(x)=2ax; {f}'({{x}_{0}})=2a{{x}_{0}}=2ab.

Искомое уравнение: y=a{{b} в степени 2 } плюс 2ab умножить на (x минус b). Найдем точку пересечения TK с прямой x=3b.

 система выражений  новая строка x=3b , новая строка y=a{{b} в степени 2 } плюс 2ab(x минус b) конец системы . равносильно система выражений  новая строка x=3b , новая строка y=a{{b} в степени 2 } плюс 2ab(3b минус b) конец системы . равносильно система выражений  новая строка x=2b , новая строка y=5a{{b} в степени 2 } . конец системы .

Итак, K(3b;5a{{b} в степени 2 }).

{{A}_{2}}K={{y}_{K}} минус {{y}_{{{A}_{2}}}}=5a{{b} в степени 2 } минус a{{b} в степени 2 }=4a{{b} в степени 2 }.

Отсюда ясно, что K — середина отрезка {{A}_{1}}{{A}_{2}}. А это значит, что {{A}_{1}}K:{{A}_{2}}K=1:1.

 

Ответ: 1 : 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнения с параметром