Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 511278

Решите уравнение:

а) [2x] = {7x};

б) [2x] = 7x;

в) 2x = {7x}.

[a] — целая часть числа a, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее a;

{a} — дробная часть числа a, т. е. {a} = a − [a].

Решение.

а) [2x] = {7x}. Заметим, что 0 меньше или равно [2x]={\{7x\}} меньше 1. Значит, [2x]=\{7x\}=0. Значит, 0\le2x меньше 1 и 7x - целое число. Поэтому x может быть равно только 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 ; дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 ; дробь, числитель — 3, знаменатель — 7 .

 

б) [2x] = 7x. По определению целой части 2x минус 1 меньше [2x]\le2x. Значит, 2x минус 1 меньше 7x\le2x равносильно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 меньше x\le0. Кроме того, 7x является целым числом. Значит, x равно  минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 или 0.

 

в) 2x = {7x}. По определению дробной части 0\le\{7x\} меньше 1. Значит, 0\le2x меньше 1 равносильно 0 меньше или равно x меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Перепишем уравнение так: 2x = 7x-[7x]. Отсюда [7x]=5x. Значит, 5x - целое число. Таким образом, х может быть равно только 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 .

 

Ответ: а)0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 ; дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 ; дробь, числитель — 3, знаменатель — 7 ; б) минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 ;0; в) 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 130.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Целая и дробная части числа, Числа и их свойства