Дан треугольник со сторонами 13, 13 и 10. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 13, BC = 10. Пусть AH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина BC.
Обозначим Тогда
Возможны два случая.
Первый случай. Предположим, что окружность радиуса r с центром вписана в угол ACB и касается основания BC в точке N, а окружность того же радиуса с центром
вписана в угол ABC, касается основания BC в точке M, а первой окружности — в точке D. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
а
Из прямоугольного треугольника находим:
Тогда
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому значит,
поскольку
— прямоугольник. Следовательно,
откуда находим
Второй случай. Пусть теперь окружность радиуса с центром
вписана в угол
и касается боковой стороны
в точке
вторая окружность радиуса
с центром
вписана в угол
касается боковой стороны
в точке
а также касается первой окружности.
Из прямоугольных треугольников и
находим:
Следовательно,
откуда находим
В случае, когда окружности вписаны в углы и
, получим тот же результат.
Ответ: 2 или