математика
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 511334

Дан треугольник со сторонами 13, 13 и 10. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Решение.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 13, BC = 10. Пусть AH — высота треугольника ABC. Тогда H — середина BC.

Обозначим Тогда

Возможны два случая.

Первый случай. Предположим, что окружность радиуса r с центром вписана в угол ACB и касается основания BC в точке N, а окружность того же радиуса с центром вписана в угол ABC, касается основания BC в точке M, а первой окружности — в точке D. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому

а

Из прямоугольного треугольника находим:

Тогда

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому значит, поскольку — прямоугольник. Следовательно,

откуда находим

Второй случай. Пусть теперь окружность радиуса с центром вписана в угол и касается боковой стороны в точке вторая окружность радиуса с центром вписана в угол касается боковой стороны в точке а также касается первой окружности.

Из прямоугольных треугольников и находим:

Следовательно,

откуда находим

В случае, когда окружности вписаны в углы и , получим тот же результат.

Ответ: 2 или


Аналоги к заданию № 500066: 500349 Все