Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 4.
Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке
Введем следующие обозначения: 
Прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, следовательно, 
Далее, из прямоугольного треугольника OPC находим 
а из равнобедренного треугольника OPQ находим 
Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны, и, значит, биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.
б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно:
откуда 
Далее 
значит, 
и, следовательно, 
Откуда
следовательно,
По формуле Герона находим:
Значит, 
Ответ: 