Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 511422

Площадь трапеции ABCD равна 60, а одно из оснований трапеции втрое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Спрятать решение

Решение.

Пусть h — высота трапеции, а основания равны a и 3a. Тогда

S_ABCD= дробь: числитель: a плюс 3a, знаменатель: 2 конец дроби h= дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби ah=2ah= 60.

Откуда ah=30.

Пусть AD=3a,BC=a. Найдём площади треугольников ABC, BCD и BCP: S_ABC=S_BCD = S_BCP дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ah = 15.

В треугольниках BOC и AOD углы BOC и AOD равны как вертикальные, а углы OBC и ADO как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны с коэффициентом подобия 3, откуда S_AOD = 9S_BOC.

Выразим площадь треугольника AOD через площадь трапеции и площади треугольников ABC, BCD и BOC:

S_AOD = S_ABCD минус S_ABC минус S_BCD плюс S_BOC равносильно 9S_BOC = 60 минус 15 минус 15 плюс S_BOC равносильно S_BOC = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби =3,75.

Рассмотрим треугольники BCN и PND: углы BNC и PND равны как вертикальные, углы NBC и NDP равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD, следовательно, эти треугольники подобны, откуда  дробь: числитель: CN, знаменатель: NP конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: PD конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: \dfrac32a конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Заметим, что отношение площадей треугольников BPN и BNC равно отношению сторон CN и NP:  дробь: числитель: S_BCN, знаменатель: S_BPN конец дроби = дробь: числитель: CN, знаменатель: NP конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , значит, S_BCN = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби S_BCP = 6, S_BPN = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби S_BCP = 9. Аналогично, S_BMC = 6, S_MPC = 9.

Найдём площадь четырёхугольника OMPN: S_OMPN = S_BCP минус S_BMC минус S_BCN плюс S_BOC = 15 минус 6 минус 6 плюс 3,75 = 6,75.

 

Рассмотрим случай, когда BC = 3AD. Найдём площади треугольников ABC, BCD и BCP: S_ABC=S_BCD = S_BCP= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ah = 45. Треугольники BOC и AOD подобны, поэтому их площади относятся как квадрат коэффициента подобия: S_BOC=9S_AOD.

Выразим площадь треугольника AOD через площадь трапеции и площади треугольников ABC, BCD и BOC:

 S_ABCD минус S_ABC минус S_BCD=S_AOD минус S_BOC равносильно 8S_AOD = 45 плюс 45 минус 60 равносильно S_AOD = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби .

Откуда S_BOC = 9S_AOD= дробь: числитель: 270, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 135, знаменатель: 4 конец дроби .

Из подобия треугольников AMP и BMC получим отношение:  дробь: числитель: BM, знаменатель: MP конец дроби = 6. Площади треугольников BMC и MPC относятся как длины отрезков MP и BM, откуда S_MPC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби S_BPC = дробь: числитель: 45, знаменатель: 7 конец дроби и S_BMC = дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби S_BPC = дробь: числитель: 270, знаменатель: 7 конец дроби . Аналогично, S_BCN = дробь: числитель: 270, знаменатель: 7 конец дроби и S_BNP = дробь: числитель: 45, знаменатель: 7 конец дроби .

Найдём площади треугольников BOM и CON:

S_CON = S_BCN минус S_BOC = дробь: числитель: 270, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 135, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 135, знаменатель: 28 конец дроби .

S_BOM = S_BMC минус S_BOC = дробь: числитель: 270, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 135, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 135, знаменатель: 28 конец дроби .

Найдём площадь четырёхугольника OMPN:

S_OMPN = S_BPC минус S_BOC минус S_BOM минус S_CON = 45 минус дробь: числитель: 135, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 135, знаменатель: 28 конец дроби минус дробь: числитель: 135, знаменатель: 28 конец дроби = 45 минус 135 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 28 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 28 конец дроби правая круглая скобка =

= 45 минус 135 умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 28 конец дроби = 45 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 28 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 45, знаменатель: 28 конец дроби .

 

Ответ: 6,75;  дробь: числитель: 45, знаменатель: 28 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Подобие