Площадь трапеции ABCD равна 60, а одно из оснований трапеции втрое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.
Пусть — высота трапеции, а основания равны
и
Тогда
Откуда
Пусть Найдём площади треугольников
и
В треугольниках и
углы
и
равны как вертикальные, а углы
и
как накрест лежащие при параллельных прямых
и
и секущей
Следовательно, треугольники
и
подобны с коэффициентом подобия 3, откуда
Выразим площадь треугольника через площадь трапеции и площади треугольников
и
Рассмотрим треугольники и
углы
и
равны как вертикальные, углы
и
равны как накрест лежащие при параллельных прямых
и
и секущей
следовательно, эти треугольники подобны, откуда
Заметим, что отношение площадей треугольников и
равно отношению сторон
и
значит,
Аналогично,
Найдём площадь четырёхугольника
Рассмотрим случай, когда
Найдём площади треугольников
и
Треугольники
и
подобны, поэтому их площади относятся как квадрат коэффициента подобия:
Выразим площадь треугольника через площадь трапеции и площади треугольников
и
Откуда
Из подобия треугольников и
получим отношение:
Площади треугольников
и
относятся как длины отрезков
и
откуда
и
Аналогично,
и
Найдём площади треугольников и
Найдём площадь четырёхугольника
Ответ: 6,75;