Площадь трапеции ABCD равна 60, а одно из оснований трапеции втрое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.
Пусть 
— высота трапеции, а основания равны 
и 
Тогда
Откуда 
Пусть 
Найдём площади треугольников 
и 
В треугольниках 
и 
углы и равны как вертикальные, а углы 
и 
как накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
Следовательно, треугольники и подобны с коэффициентом подобия 3, откуда 
Выразим площадь треугольника через площадь трапеции и площади треугольников и 
Рассмотрим треугольники 
и 
углы 
и 
равны как вертикальные, углы 
и 
равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей 
следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
Заметим, что отношение площадей треугольников 
и равно отношению сторон 
и 
значит, 
Аналогично, 
Найдём площадь четырёхугольника 
Рассмотрим случай, когда
Найдём площади треугольников 
и 
Треугольники и подобны, поэтому их площади относятся как квадрат коэффициента подобия: 
Выразим площадь треугольника через площадь трапеции и площади треугольников 
и
Откуда 
Из подобия треугольников 
и 
получим отношение: 
Площади треугольников и 
относятся как длины отрезков 
и 
откуда 
и 
Аналогично, 
и 
Найдём площади треугольников 
и 
Найдём площадь четырёхугольника
Ответ: 6,75; 
