Площадь трапеции ABCD равна 60, а одно из оснований трапеции втрое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.
Пусть h — высота трапеции, а основания равны a и 
Тогда
Откуда 
Пусть 
Найдём площади треугольников 
и 
В треугольниках BOC и AOD углы BOC и AOD равны как вертикальные, а углы OBC и ADO как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей 
Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны с коэффициентом подобия 3, откуда 
Выразим площадь треугольника AOD через площадь трапеции и площади треугольников и 
Рассмотрим треугольники BCN и 
углы BNC и PND равны как вертикальные, углы NBC и NDP равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD, следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
Заметим, что отношение площадей треугольников BPN и BNC равно отношению сторон CN и 
значит, 
Аналогично, 
Найдём площадь четырёхугольника 
Рассмотрим случай, когда
Найдём площади треугольников 
и 
Треугольники BOC и AOD подобны, поэтому их площади относятся как квадрат коэффициента подобия: 
Выразим площадь треугольника AOD через площадь трапеции и площади треугольников 
и
Откуда 
Из подобия треугольников AMP и BMC получим отношение: 
Площади треугольников BMC и MPC относятся как длины отрезков MP и BM, откуда 
и 
Аналогично, 
и 
Найдём площади треугольников BOM и 
Найдём площадь четырёхугольника
Ответ: 6,75; 