СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 511422

Площадь трапеции ABCD равна 60, а одно из оснований трапеции втрое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Решение.

Пусть — высота трапеции, а основания равны и Тогда

Откуда

Пусть Найдём площади треугольников и

В треугольниках и углы и равны как вертикальные, а углы и как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей Следовательно, треугольники и подобны с коэффициентом подобия 3, откуда

Выразим площадь треугольника через площадь трапеции и площади треугольников и

Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, углы и равны как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей следовательно, эти треугольники подобны, откуда

Заметим, что отношение площадей треугольников и равно отношению сторон и значит, Аналогично,

Найдём площадь четырёхугольника

 

Рассмотрим случай, когда Найдём площади треугольников и Треугольники и подобны, поэтому их площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

Выразим площадь треугольника через площадь трапеции и площади треугольников и

Откуда

Из подобия треугольников и получим отношение: Площади треугольников и относятся как длины отрезков и откуда и Аналогично, и

Найдём площади треугольников и

Найдём площадь четырёхугольника

 

Ответ: 6,75;

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Подобие