СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511837

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором CB = CA = 5, BA = 6. Высота призмы равна 10. Точка M — середина ребра AA1.

А) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости MBC1 и ABC.

Б) Вычислите угол между плоскостями MBC1 и ABC.

Решение.

Решение 1.

А) Построим последовательно: Прямую C1M. Прямую CA, F — точка пересечения C1M и CA. Прямую BF — искомая прямая. Прямая BF — общая прямая плоскостей MBC1 и ABC по способу построения.

Б) Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.

Пусть в треугольнике ABC D — середина AB. Тогда:

Укажем координаты нужных точек: D(0;0;0), M(0;3;5), C1(4;0;10), B(0;−3;0).

Ясно, что уравнение плоскости ABC: z = 0.

Найдем уравнение плоскости MBC1.

 

Уравнение плоскости MBC1 имеет вид: или Если φ — искомый угол, то:

 

Ответ: Б)

 

Решение 2.

а) Проведем в грани прямую и отметим ее точку пересечения с прямой AB (назовем ее K). Очевидно, BK — искомая прямая.

б) Поскольку в треугольнике отрезок MA параллелен и равен его половине, то он — cредняя линия треугольника, поэтому Если провести высоту CH в треугольнике ABC, то откуда Тогда

Далее и по теореме косинусов для треугольника BAK получаем

Опустим высоту AT на сторону BK. Заметим, что AT — проекция MT на плоскость ABC, поэтому Значит,  — линейный угол искомого двугранного угла. Поскольку имеем

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Прямая призма, Угол между плоскостями