СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511839

В трапеции ABCD площадью, равной 30, диагонали АС и BDвзаимно перпендикулярны, а ∠BAC = ∠CDB. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K.

А) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная.

Б) Найдите площадь треугольника AD, если известно, что ∠ AKD=30°, а BC < AD.

Решение.

А) Из условия ∠BAC = ∠CDB сразу следует, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Однако, известно и то, что в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. Отсюда вывод: трапеция ABCD — равнобедренная.

Б) Обозначим через О точку пересечения диагоналей трапеции. Из равнобедренности трапеции ABCD также следует: AC = BD, ΔAOD — равнобедренный, ∠ BAD = ∠ CDA, Δ AKD — равнобедренный.

В Δ AKD: BC || AD, откуда Δ BKC ~ Δ AKD, ∠KBC = ∠KAD, Δ BKC — равнобедренный.

В Δ AKD:

В равнобедренном прямоугольном Δ AOD угол OAD = 45°. Значит, ∠KAC& = ∠KAD − ∠CAD = 75° − 45° = 30°.

Рассмотрим Δ AKC. В нем ∠KAC = ∠AKC = 30°, следовательно, он — равнобедренный, т. е. AC = KC (*).

Но так как AC = BD, то 0,5AC2=30; AC2 = 60.

В соответствии с равнобедренностью Δ BKC и равенством (*):

 

Ответ: Б) 45.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.
Классификатор планиметрии: Многоугольники, Окружности, Окружность, описанная вокруг четырехугольника