Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 511890
i

Дано урав­не­ние 3\log _2 левая круг­лая скоб­ка синус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _2 левая круг­лая скоб­ка синус 3x минус ко­си­нус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка .

А)  Ре­ши­те урав­не­ние.

Б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0,5;4,5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

А)  Най­дем огра­ни­че­ния на x.

синус 3x боль­ше 0 рав­но­силь­но 2 Пи n мень­ше 3x мень­ше Пи плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи плюс 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z .

Для таких x:

3\log _2 левая круг­лая скоб­ка синус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _2 левая круг­лая скоб­ка синус 3x минус ко­си­нус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но \log _2 левая круг­лая скоб­ка синус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе =\log _2 левая круг­лая скоб­ка синус 3x минус ко­си­нус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

рав­но­силь­но синус в кубе 3x минус синус 3x плюс ко­си­нус 3x=0 рав­но­силь­но синус 3x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус 3x=0 рав­но­силь­но минус синус 3x умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те 3x плюс ко­си­нус 3x=0

рав­но­силь­но ко­си­нус 3x левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус 3x умно­жить на ко­си­нус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус 3x=0 , новая стро­ка синус 3x умно­жить на ко­си­нус 3x=1 конец со­во­куп­но­сти .  рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус 3x=0 , новая стро­ка 2 синус 3x умно­жить на ко­си­нус 3x=2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус 3x=0 , новая стро­ка синус 6x=2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но ко­си­нус 3x=0.

С уче­том того, что синус 3x боль­ше 0:3x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z .

Б)  За­ме­тим, что от­ре­зок левая квад­рат­ная скоб­ка 0,5;4,5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка охва­ты­ва­ет пер­вых три ко­ор­ди­нат­ных чет­вер­ти, при­чем первую и тре­тью чет­вер­ти ча­стич­но.

При n=0 по­лу­чим x_1= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3,12, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =0,52 боль­ше 0,5.

При n=1 по­лу­чим x_2= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 3,12, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =2,6 боль­ше 0,5, x_2= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 3,15, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =2,625 мень­ше 4,5.

При n=2 по­лу­чим x= дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 3,12, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =4,68 боль­ше 4,5.

То есть число дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби к числу ис­ко­мых не от­но­сит­ся. Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней смыс­ла не имеют.

 

Ответ: А) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z . Б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025