СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511891

Через вершину В1 куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость Ω, перпендикулярная прямой ВD1.

А) Докажите, что плоскость Ω делит отрезок ВD1 в отношении 2 : 1, считая от вершины D1.

Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые разбивает куб плоскость Ω.

Решение.

а) Заметим, что при этом  — проекция на следовательно, Аналогично поэтому описанная в задаче плоскость — это плоскость Пусть она пересекает диагональ в точке H. Тогда

C другой стороны,

Поэтому Поскольку имеем что и требовалось.

б) Упрощая вторую формулу для объема, получаем поэтому отношение объемов частей равно

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Куб, Объем тела, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой