Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 511894

В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м3 воды в час. Вторая труба наливает в час на 3V м3 меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м3 больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значении V бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?

Спрятать решение

Решение.

Примем объем бассейна за 1. Пусть вначале первая и вторая трубы, работая вместе t1 ч, налили (30 плюс 30 минус 3V) умножить на t_1=(60 минус 3V)t_1=0,3 бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили (30 плюс 30 минус 3V плюс 30 плюс 10V) умножить на t_2=(90 плюс 7V)t_2=0,7 бассейна. Тогда время наполнения бассейна

t(V)=t_1 плюс t_2= дробь: числитель: 0,1, знаменатель: 20 минус V конец дроби плюс дробь: числитель: 0,7, знаменатель: 90 плюс 7V конец дроби = дробь: числитель: 23, знаменатель: (20 минус V)(90 плюс 7V) конец дроби .

Найдем, при каком V полученное выражение наименьшего значения. Графиком функции y=(20 минус V)(90 плюс 7V) является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках 20 и  минус дробь: числитель: 90, знаменатель: 7 конец дроби , ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна  дробь: числитель: 20 плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 90, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби . Эта величина лежит в интервале (0; 10), а значит, наибольшее значение квадратного трехчлена на данном интервале и достигается при V= дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби . Осталось заметить, что наибольшее значение знаменателя положительно, поэтому оно соответствует наименьшему значению t(V).

 

Ответ:  дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби .

 

 

Примечание.

В общем случае можно исследовать функцию при помощи производной. Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:

t'(V)= дробь: числитель: 0,1, знаменатель: (20 минус V) в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 4,9, знаменатель: (90 плюс 7V) в квадрате конец дроби .

Решим уравнение t'(V)=0, используя равносильность x в квадрате =y в квадрате равносильно x=\pm y:

 дробь: числитель: 0,1, знаменатель: (20 минус V) в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 4,9, знаменатель: (90 плюс 7V) в квадрате конец дроби =0 равносильно (90 плюс 7V) в квадрате =49(20 минус V) в квадрате равносильно

 равносильно 90 плюс 7V=7(20 минус V) или 90 плюс 7V= минус 7(20 минус V)=0 равносильно 14V минус 50=0 равносильно V= дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби .

Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке.

 

Приведем другое решение.

Пусть объем бассейна равен A м3. Первая и вторая трубы, работая вместе t1 ч, налили (30 плюс 30 минус 3V) умножить на t_1=(60 минус 3V)t_1=0,3A м3 бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили (30 плюс 30 минус 3V плюс 30 плюс 10V) умножить на t_2=(90 плюс 7V)t_2=0,7A м3 бассейна. В результате бассейн был налит полностью.

Известно, что для любых двух положительных чисел t1 и t2 верно неравенство t_1 плюс t_2 больше или равно 2 корень из (t_1 умножить на t_2) (неравенство Коши).

Рассмотрим произведение t_1 умножить на t_2.

t_1 умножить на t_2= дробь: числитель: 0,1A, знаменатель: 20 минус V конец дроби умножить на дробь: числитель: 0,7A, знаменатель: 90 плюс 7V конец дроби = дробь: числитель: 0,7A в квадрате , знаменатель: 1800 минус 90V плюс 140V минус 7V в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 0,7A в квадрате , знаменатель: минус 7V в квадрате плюс 50V плюс 1800 конец дроби .

Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке V= дробь: числитель: 50, знаменатель: 14 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби . А это значит: t_1 умножить на t_2 имеет наименьшее значение в точке V= дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби (значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение 2 корень из (t_1 умножить на t_2) также будет иметь аналогичное значение в той же точке V= дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби . При этом:

2 корень из (t_1 умножить на t_2) =2 корень из ( дробь: числитель: 0,1A, знаменатель: 20 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби умножить на дробь: числитель: 0,7A, знаменатель: 90 плюс 7 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби ) =2A умножить на корень из ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 200 минус дробь: числитель: 250, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби умножить на дробь: числитель: 0,7, знаменатель: 115 конец дроби ) =2A корень из ( дробь: числитель: 7, знаменатель: 1150 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 1150 конец дроби ) = дробь: числитель: 14A, знаменатель: 1150 конец дроби = дробь: числитель: 7A, знаменатель: 575 конец дроби .

t_1 плюс t_2= дробь: числитель: 0,1A, знаменатель: 20 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби плюс дробь: числитель: 0,7A, знаменатель: 90 плюс 7 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби =A умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 200 минус дробь: числитель: 250, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби плюс дробь: числитель: 0,7, знаменатель: 115 конец дроби правая круглая скобка =

=A умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 1400 минус 250 конец дроби плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 1150 конец дроби правая круглая скобка =7A умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1150 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1150 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 14A, знаменатель: 1150 конец дроби = дробь: числитель: 7A, знаменатель: 575 конец дроби .

Итак, при V= дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби получим t_1 плюс t_2=2 корень из (t_1 умножить на t_2) . А это значит, что в точке V= дробь: числитель: 25, знаменатель: 7 конец дроби выражение t1 + t2 также примет наименьшее значение.

 

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 117.
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Людмила Павловна Карякина 22.01.2017 12:43

В школе неравенство Коши не изучается. как же можно такие задания включать в ЕГЭ?

Константин Лавров

А кто вам сказал, что его кто-то когда-то включил в ЕГЭ? Это тренировочная задача для подготовки к ЕГЭ из вариантов Александра Александровича Ларина (о чем написано в поле "источник"). Нам кажется, что для качественной подготовки к ЕГЭ она, а также неравенство Коши очень полезны. Школьники, изучающие профильный курс математики, должны быть с ним знакомы. Никто не мешает Вам и Вашим ученикам изучить элементарное неравенство Коши. Причем сделать это можно уже в седьмом классе, сразу после изучения формул сокращенного умножения.