≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 511894

В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м3 воды в час. Вторая труба наливает в час на 3V м3 меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м3 больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значении V бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?

Решение.

Примем объем бассейна за 1. Пусть вначале первая и вторая трубы, работая вместе t1 ч, налили бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили бассейна. Тогда время наполнения бассейна

 

 

Найдем, при каком V полученное выражение наименьшего значения. Графиком функции является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках 20 и ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна Эта величина лежит в интервале (0; 10), а значит, наибольшее значение квадратного трехчлена на данном интервале и достигается при Осталось заметить, что наибольшее значение знаменателя положительно, поэтому оно соответствует наименьшему значению

 

Ответ:

 

 

Примечание.

В общем случае можно исследовать функцию при помощи производной. Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:

Решим уравнение используя равносильность

Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке.

 

Приведем другое решение.

Пусть объем бассейна равен A м3. Первая и вторая трубы, работая вместе t1 ч, налили м3 бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили м3 бассейна. В результате бассейн был налит полностью.

Известно, что для любых двух положительных чисел t1 и t2 верно неравенство (неравенство Коши).

Рассмотрим произведение

Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке А это значит: имеет наименьшее значение в точке (значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение также будет иметь аналогичное значение в той же точке При этом:

Итак, при получим А это значит, что в точке выражение t1 + t2 также примет наименьшее значение.

 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор
Спрятать решение · ·
Людмила Павловна Карякина 22.01.2017 12:43

В школе неравенство Коши не изучается. как же можно такие задания включать в ЕГЭ?

Константин Лавров

А кто вам сказал, что его кто-то когда-то включил в ЕГЭ? Это тренировочная задача для подготовки к ЕГЭ из вариантов Александра Александровича Ларина (о чем написано в поле "источник"). Нам кажется, что для качественной подготовки к ЕГЭ она, а также неравенство Коши очень полезны. Школьники, изучающие профильный курс математики, должны быть с ним знакомы. Никто не мешает Вам и Вашим ученикам изучить элементарное неравенство Коши. Причем сделать это можно уже в седьмом классе, сразу после изучения формул сокращенного умножения.