СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511898

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 AB = 2, AA1 = 3.

а) Докажите, что прямые AC1 и BE перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми AC1 и BE.

Решение.

Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.

Будем иметь в виду, что правильный шестиугольник, что лежит в основании призмы, отрезками AD,BE, FC, которые пересекаются в точке О, разбивается на 6 правильных треугольников, высоты которых равны (использована известная формула ; в нашем случае a = 2).

В соответствии со сказанным укажем координаты нужных точек:

а) Найдем:

Итак, А это значит, что прямые AC1 и BE перпендикулярны.

б) Найдем координаты вектора перпендикулярного как к вектору так и к вектору Пусть его координаты будут равны Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю,

Итак, Заменим этот вектор ему коллинеарным, поделив полученные координаты на

Составим уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку любую точку прямой AC1. Искомое уравнение будет иметь вид: где a, b, c — соответствующие координаты вектора — координаты любой точки прямой AC1. Пусть такой точкой будет А. Тогда:

Расстояние ρ между скрещивающимися прямыми AC1 и BE найдем как расстояние между любой точкой прямой BE до найденной плоскости. В качестве такой точки выберем B.

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 118.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильная шестиугольная призма, Расстояние между скрещивающимися прямыми