СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 511902

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений 

имеет ровно два решения.

Решение.

Преобразуем каждое из уравнений системы.

а)

В соответствии с теоремой Виета:

б)

Теперь заданную систему запишем так:

Она (система) будет равносильна совокупности двух систем:

 

Рассмотрим систему (1). При этом:

 

Это уравнение будет иметь решения, если его дискриминант будет неотрицательным.

Система (1) будет иметь ровно одно решение при или при Она же будет иметь ровно два решения при

При система (1) решений не будет иметь. Теперь рассмотрим систему (2).

Перепишем ее так:

Найдем ее главный определитель

Вычислим ее вспомогательные определители:

 

При система либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений. Случай бесчисленного множества решений исключается, так как для того чтобы система (2) имела бесчисленное множество решений, кроме условия потребуется выполнение равенства Однако оно не выполнимо, так как

Следовательно, при система (2) решений не имеет. При любых других значениях а система (2) будет иметь ровно одно решение. Заметим, что системы (1) и (2) также могут иметь совпадающие решения. Найдем их, если они имеются. Решим уравнение

 

;

 

При :

При :

Итак, при или системы (1) и (2), следовательно, и исходная система имеют ровно два решения: (3; 0) и (1; –2). Обобщим наши исследования и для большей наглядности данные занесем в таблицу:

 

Значения параметра aСистема (1) имеет:Система (2) имеет:
ровно 2 решенияровно 1 решение
ровно 1 решениеровно 1 решение
решений нетровно 1 решение
0ровно 1 решениеровно 1 решение
ровно 2 решенияровно 1 решение
ровно 2 решения (тождественное их совпадение)
ровно 2 решенияровно 1 решение
ровно 2 решения (тождественное их совпадение)
ровно 2 решенияровно 1 решение
1ровно 2 решениярешений нет
(ровно 2 решенияровно 1 решение

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 118.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Системы с параметром