СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 511903

Имеется набор отрезков, два самых коротких из них имеют длину 1, самый длинный имеет длину 45.

а) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 5 отрезков?

б) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 60 отрезков?

в) Какое наибольшее число отрезков может быть в наборе, чтобы ни из каких трёх нельзя было составить треугольник?

Решение.

а) Пусть отрезки имеют длины 1, 1, 4, 10 и 45. Тогда ясно, что ни для каких трех из них неравенство треугольника не выполняется.

 

б) Упорядочим отрезки по возрастанию: Пусть ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Тогда получаем неравенства: Значит, еще больше. Противоречие.

 

в) Из пункта б) ясно, что отрезков не может быть 10 или больше. Пусть отрезков 9 и их длины равны 1,1,2,3,5,8,13,21,45. Тогда ни из каких трёх отрезков составить треугольник нельзя, поскольку самый длинный из них будет больше или равен сумме двух других.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.