СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 512002

В правильной треугольной пирамиде PABC (ABC — основание) M — точка пересечения медиан грани PBC.

а) Докажите, что прямая AM делит высоту РО пирамиды в отношении 3 : 1, считая от точки P.

б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках А, В, M, P, ели известно, что AB = 12, PC = 10.

Решение.

А) Пусть прямая PM пересекает BC в точке D, — проекция точки M на AD, — точка пересечения РО и AM, F — середина AB. Поместим Δ APD в декартову систему координат как показано на рис. 2. И пусть AD = 9m, PO = 3h. Тогда AO = 6m, OD = 3m, ME = h.

Выпишем координаты точек А и M: A(−6m; 0), M(2m; h). Уравнение прямой AM имеет вид:

т. е.

Абсцисса точки K заведомо известна, она равна нулю. Найдем ее ординату. Следовательно,

Тогда что и требовалось доказать.

 

 

Б) Плоскость (PAD) делит заданную пирамиду на две равновеликие пирамиды (рис. 1). Т. е.

Далее имеем:

 

Заметим, что MABD также является пирамидой с основанием ABD и высотой ME. Тогда:

 

Итак,

 

Ответ: Б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.