Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512433

Внутри равностороннего треугольника ABC в произвольном месте поставлена точка M.

а) Докажите, что сумма расстояний от точки M до сторон треугольника ABC равна высоте этого треугольника.

б) Найдите расстояние от точки M до стороны AB, если расстояние от точки M до сторон AC и BC соответственно равны 10 корень из { 133} и 3 корень из { 133}, а площадь треугольника ABC равна 14364 корень из { 3}.

Решение.

а) Пусть AB = BC = AC = a. Соединим отрезками точку M с вершинами \Delta ABC. И пусть расстояния от точки M до сторон AB, BC, ACтреугольника равны соответственно b, c, d. Тогда

S(ABC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (ab плюс ac плюс ad)= дробь, числитель — a, знаменатель — 2 (b плюс c плюс d).

Это — с одной стороны. Но с дургой же стороны, S(ABC)= дробь, числитель — ah, знаменатель — 2 , где h — высота \Delta ABC. Следовательно, h = b + c + d, что и требовалось доказать.

 

 

б) S(ABC)= дробь, числитель — {{a} в степени 2 } корень из { 3}, знаменатель — 4 , значит,

 дробь, числитель — {{a} в степени 2 } корень из { 3}, знаменатель — 4 =14364 корень из { 3} равносильно {{a} в степени 2 }=4 умножить на 4 умножить на 9 умножить на 399 равносильно a=4 умножить на 3 умножить на корень из { 3 умножить на 133}.

 

h= дробь, числитель — a корень из { 3}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 12 умножить на 3 умножить на корень из { 133}, знаменатель — 2 =18 корень из { 133}.

 

b=h минус (c плюс d)=18 корень из { 133} минус 13 корень из { 133}=5 корень из { 133}.

 

Ответ: а) 5 корень из { 133}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 133.
Методы геометрии: Метод площадей
Классификатор планиметрии: Треугольники