Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512447

Точка D лежит на стороне ВС треугольника АВС.

а) Докажите, что A{{D} в степени 2 }=A{{B} в степени 2 } умножить на дробь, числитель — CD, знаменатель — BC плюс A{{C} в степени 2 } умножить на дробь, числитель — BD, знаменатель — BC минус CD умножить на BD.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что AB=14,AC=11,BD=3,AD= корень из { 145}.

Решение.

а) Пусть AB=c,AD=d,AC=b,BD={{a}_{1}},CD={{a}_{2}},BC=a. (Рис.1)

Тогда: в \Delta ABD:{{d} в степени 2 }={{c} в степени 2 } плюс a_{1} в степени 2 минус 2{{a}_{1}}c косинус B; косинус B= дробь, числитель — {{c} в степени 2 } плюс a_{1} в степени 2 минус {{d} в степени 2 }, знаменатель — 2{{a _{1}}c}(*)

В \Delta ABC:{{b} в степени 2 }={{c} в степени 2 } плюс {{({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}})} в степени 2 } минус 2({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}})c косинус B; косинус B= дробь, числитель — {{c} в степени 2 } плюс {{({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}})} в степени 2 } минус {{b} в степени 2 }, знаменатель — 2({{a _{1}} плюс {{a}_{2}})c}(**)

В равенствах (*) и (**) левые части равны, значит, обязаны быть равными и правые части.

 дробь, числитель — {{c} в степени 2 } плюс a_{1} в степени 2 минус {{d} в степени 2 }, знаменатель — 2{{a _{1}}c}= дробь, числитель — {{c} в степени 2 } плюс {{({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}})} в степени 2 } минус {{b} в степени 2 }, знаменатель — 2({{a _{1}} плюс {{a}_{2}})c} равносильно дробь, числитель — {{c} в степени 2 } плюс a_{1} в степени 2 минус {{d} в степени 2 }, знаменатель — {{a _{1}}}= дробь, числитель — {{c} в степени 2 } плюс {{({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}})} в степени 2 } минус {{b} в степени 2 }, знаменатель — {{a _{1}} плюс {{a}_{2}}} равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — {{c} в степени 2 } минус {{d} в степени 2 }, знаменатель — {{a _{1}}} плюс {{a}_{1}}= дробь, числитель — {{c} в степени 2 } минус {{b} в степени 2 }, знаменатель — {{a _{1}} плюс {{a}_{2}}} плюс {{a}_{1}} плюс {{a}_{2}} равносильно дробь, числитель — {{c} в степени 2 } минус {{d} в степени 2 }, знаменатель — {{a _{1}}}= дробь, числитель — {{c} в степени 2 } минус {{b} в степени 2 }, знаменатель — {{a _{1}} плюс {{a}_{2}}} плюс {{a}_{2}} равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — {{c} в степени 2 } минус {{d} в степени 2 }, знаменатель — {{a _{1}}}= дробь, числитель — {{c} в степени 2 } минус {{b} в степени 2 } плюс {{a}_{1}, знаменатель — {a _{2}} плюс a_{2} в степени 2 }{{{a}_{1}} плюс {{a}_{2}}} равносильно ({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}})({{c} в степени 2 } минус {{d} в степени 2 })={{a}_{1}}({{c} в степени 2 } минус {{b} в степени 2 } плюс {{a}_{1}}{{a}_{2}} плюс a_{2} в степени 2 ) равносильно

 

 равносильно {{a}_{1}}{{c} в степени 2 } минус {{a}_{1}}{{d} в степени 2 } плюс {{a}_{2}}{{c} в степени 2 } минус {{a}_{2}}{{d} в степени 2 }={{a}_{1}}{{c} в степени 2 } минус {{a}_{1}}{{b} в степени 2 } плюс {{a}_{1}}{{a}_{2}}({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}}) равносильно

 равносильно минус {{a}_{1}}{{d} в степени 2 } плюс {{a}_{2}}{{c} в степени 2 } минус {{a}_{2}}{{d} в степени 2 }= минус {{a}_{1}}{{b} в степени 2 } плюс {{a}_{1}}{{a}_{2}}({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}}) равносильно {{a}_{1}}{{a}_{2}}({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}}) плюс ({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}}){{d} в степени 2 }={{a}_{2}}{{c} в степени 2 } плюс {{a}_{1}}{{b} в степени 2 } равносильно

({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}}){{d} в степени 2 }={{a}_{2}}{{c} в степени 2 } плюс {{a}_{1}}{{b} в степени 2 } минус {{a}_{1}}{{a}_{2}}({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}}).

 

a{{d} в степени 2 }={{a}_{2}}{{c} в степени 2 } плюс {{a}_{1}}{{b} в степени 2 } минус {{a}_{1}}{{a}_{2}}a равносильно {{d} в степени 2 }={{c} в степени 2 } умножить на дробь, числитель — {{a}_{2}}, знаменатель — a плюс {{b} в степени 2 } умножить на дробь, числитель — {{a}_{1}}, знаменатель — a минус {{a}_{1}}{{a}_{2}}.

 

Значит, B{{D} в степени 2 }=A{{B} в степени 2 } умножить на дробь, числитель — CD, знаменатель — BC плюс A{{C} в степени 2 } умножить на дробь, числитель — BD, знаменатель — BC минус BD умножить на CD, что и требовалось доказать.

 

б) По теореме Стюарта (доказано выше):

A{{D} в степени 2 }=A{{B} в степени 2 } умножить на дробь, числитель — CD, знаменатель — BC плюс A{{C} в степени 2 } умножить на дробь, числитель — BD, знаменатель — BC минус BD умножить на CD. (См. рис.2).

145=196 умножить на дробь, числитель — x, знаменатель — x плюс 3 плюс 121 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — x плюс 3 минус 3x;

145x плюс 435=196x плюс 363 минус 3{{x} в степени 2 } минус 9x равносильно 3{{x} в степени 2 } минус 42x плюс 72=0 равносильно {{x} в степени 2 } минус 14x плюс 24=0 равносильно совокупность выражений  новая строка x=2 , новая строка x=12 . конец совокупности .

Если x=2, то BC=5,p=15;S(ABC)= корень из { 15 умножить на 1 умножить на 10 умножить на 4}= корень из { 3 умножить на 5 умножить на 2 умножить на 5 умножить на 4}=5 умножить на 2 корень из { 6}=10 корень из { 6}.

Если x=12, то BC=15,p=20;S(ABC)= корень из { 20 умножить на 6 умножить на 5 умножить на 9}= корень из { 4 умножить на 5 умножить на 6 умножить на 5 умножить на 9}=2 умножить на 5 умножить на 3 корень из { 6}=30 корень из { 6}.

 

Ответ: б) 10 корень из { 6};30 корень из { 6}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 135.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Треугольники