Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 512459

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB=8 корень из { 3} и SC = 17.

а) Докажите, что прямые AB и SC перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки А, В и середину высоты пирамиды, проведенной из вершины S.

Решение.

а) Пусть O — центр основания пирамиды, D — середина ребра АB, E — середина SO,FDC = α, ∠FCD = β. Тогда

CD= дробь, числитель — BC корень из { 3}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 8 корень из { 3} умножить на корень из { 3}, знаменатель — 2 =12.CO= дробь, числитель — 12 умножить на 2, знаменатель — 3 =8;

 

DO= дробь, числитель — 12, знаменатель — 3 =4;SO= корень из { S{{} в степени 2 } минус {{O} в степени 2 }}= корень из { 289 минус 64}= корень из { 225}=15.

Ребро SC — наклонная к плоскости основания пирамиды, SO — перпендикуляр, CO — проекция наклонной, CO\subset D,AB\bot CD, по теореме о трех перпендикулярах AB\bot SC, что и требовалось доказать.

б) В плоскости (DSC), которая содержит высоту пирамиды SO, через точку E проведем прямую, пересекающую ребро SC в точке F. Соединим эту точку с вершинами Aи B пирамиды. Δ AFB — сечение, упомянутое в условии задачи.

 

 

В \Delta DOE: тангенс \alpha = дробь, числитель — OE, знаменатель — OD = дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 умножить на 4 = дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }\alpha }=1 плюс {{ тангенс } в степени 2 }\alpha =1 плюс дробь, числитель — 225, знаменатель — 64 = дробь, числитель — 289, знаменатель — 64 ; косинус \alpha = дробь, числитель — 8, знаменатель — 17 .

В \Delta SOC: косинус \beta = дробь, числитель — CO, знаменатель — SC = дробь, числитель — 8, знаменатель — 17 .  косинус \alpha = косинус \beta . Значит, \alpha =\beta,DF=CF,PD=PC=6.

В \Delta DPF:DF= дробь, числитель — PD, знаменатель — косинус \alpha =6: дробь, числитель — 8, знаменатель — 17 = дробь, числитель — 3 умножить на 17, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 51, знаменатель — 4 .

S(AFB)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB умножить на DF= дробь, числитель — 8 корень из { 3} умножить на 51, знаменатель — 2 умножить на 4 =51 корень из { 3}.

 

Ответ: б) 51 корень из 3 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Площадь сечения, Правильная треугольная пирамида, Сечение, проходящее через три точки