Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 15 № 512460

Решите неравенство 2 в степени 2x минус x в степени 2 минус 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 в степени 2x минус x в степени 2 минус 1 меньше или равно 2.

Решение.

Получим:

2 в степени 2x минус x в степени 2 минус 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 в степени 2x минус x в степени 2 минус 1 меньше или равно 2 равносильно дробь, числитель — 2 в степени 2x минус x в степени 2 , знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 в степени 2x минус x в степени 2 минус 1 минус 2 меньше или равно 0.

Пусть 2 в степени 2x минус x в степени 2 =t. Тогда

 дробь, числитель — t, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — t минус 1 минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — t в степени 2 минус t плюс 2 минус 4t плюс 4, знаменатель — 2(t минус 1) меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — t в степени 2 минус 5t плюс 6, знаменатель — t минус 1 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (t минус 2)(t минус 3), знаменатель — t минус 1 меньше или равно 0.

Полученное неравенство решим методом интервалов.

Итак, t меньше 1, 2 меньше или равно t меньше или равно 3. Перейдем к переменной х.

2 в степени 2x минус x в степени 2 меньше 1 равносильно 2 в степени 2x минус x в степени 2 меньше 2 в степени 0 равносильно 2x минус x в степени 2 меньше 0 равносильно x в степени 2 минус 2x больше 0 равносильно x(x минус 2) больше 0 равносильно совокупность выражений  новая строка x меньше 0 , новая строка x больше 2 . конец совокупности .

 

2 меньше или равно 2 в степени 2x минус x в степени 2 меньше или равно 3 равносильно система выражений  новая строка 2 в степени 2x минус x в степени 2 больше или равно 2 , новая строка 2 в степени 2x минус x в степени 2 меньше или равно 2 в степени логарифм по основанию 2 3 конец системы . равносильно система выражений  новая строка 2x минус x в степени 2 минус 1 больше или равно 0 , новая строка 2x минус x в степени 2 меньше или равно логарифм по основанию 2 3 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x в степени 2 минус 2x плюс 1 меньше или равно 0 , новая строка x в степени 2 минус 2x плюс логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно равносильно система выражений  новая строка {{(x минус 1)} в степени 2 } меньше или равно 0 , новая строка {{x} в степени 2 } минус 2x плюс {{\log }_{2}}3 больше или равно 0 конец системы . равносильно

 

 равносильно система выражений  новая строка x=1 , новая строка минус 1 плюс логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x=1 , новая строка логарифм по основанию 2 3 больше или равно 1 конец системы . равносильно x=1.

Таким образом, x принадлежит левая круглая скобка минус принадлежит fty ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс принадлежит fty правая круглая скобка \cup \left\{ 1 \}.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус принадлежит fty ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс принадлежит fty правая круглая скобка \cup \left\{ 1 \}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства рациональные относительно показательной функции
Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств
Классификатор базовой части: 2.2.9 Метод интервалов