Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512461

Равносторонний треугольник ABC и три одинаковые окружности расположены таким образом, что каждая окружность касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.

а) Докажите, что точки попарного касания окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.

б) Найдите радиус окружностей, если известно, что AB = 4.

Решение.

а) Обозначим: центы окружностей {{O}_{1}},{{O}_{2}},{{O}_{3}}; точки касания окружностей: M,N,P; общую точку AC и окр. ({{O}_{1}};r) Q, проекцию точки P на ACR. Соединим центры окружностей отрезками. Пусть радиус окружностей равен r.

Рассмотрим треугольник {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}. Он равносторонний, поскольку каждая его сторона равна 2r.Стороны треугольника MNP являются средними линиями треугольника {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}, следовательно, каждая его сторона будет равна r, что и требовалось доказать.

б) Поскольку каждая заданная окружность вписана в один из углов равностороннего треугольника ABC, их центры лежат на соответствующих биссектрисах треугольника ABC. Следовательно, \angle {{O}_{1}}AQ={{30} в степени \circ }, а это значит, что A{{O}_{1}}=2r=2{{O}_{1}}Q.

Очевидно, что

QR=r,AR= дробь, числитель — AC, знаменатель — 2 =2;

AQ=AR минус QR=2 минус r;

это — с одной стороны.

AQ=A{{O}_{1}} умножить на косинус {{30} в степени \circ }=2r умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 =r корень из { 3}.

Это — с другой стороны. Значит,

2 минус r=r корень из { 3} равносильно равносильно r корень из { 3} плюс r=2 равносильно r= дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 3 плюс 1} равносильно r= дробь, числитель — 2( корень из { 3} минус 1), знаменатель — ( корень из { 3 плюс 1)( корень из { 3} минус 1)} равносильно r= дробь, числитель — 2( корень из { 3} минус 1), знаменатель — 3 минус 1 равносильно r= корень из { 3} минус 1.

 

Ответ:  корень из { 3} минус 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности и системы окружностей, Окружности и треугольники