СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512461

Равносторонний треугольник ABC и три одинаковые окружности расположены таким образом, что каждая окружность касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.

а) Докажите, что точки попарного касания окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.

б) Найдите радиус окружностей, если известно, что AB = 4.

Решение.

а) Обозначим: центы окружностей точки касания окружностей: общую точку и окр. проекцию точки на Соединим центры окружностей отрезками. Пусть радиус окружностей равен

Рассмотрим треугольник Он равносторонний, поскольку каждая его сторона равна Стороны треугольника являются средними линиями треугольника следовательно, каждая его сторона будет равна что и требовалось доказать.

б) Поскольку каждая заданная окружность вписана в один из углов равностороннего треугольника их центры лежат на соответствующих биссектрисах треугольника Следовательно, а это значит, что

Очевидно, что

это — с одной стороны.

Это — с другой стороны. Значит,

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.