Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 512462

Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).

По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Решение.

Рассмотрим первую схему. Пусть х руб. – искомая фиксированная сумма

 

Который отчетный месяц?Долг к концу месяца с учетом начисленных процентов (руб.)Анатолий переводит в банк (руб.)Долг Анатолия на начало следующего месяца (руб.)
Первый331000 умножить на 1,1=364100х364100 минус x
Второй(364100 минус x) умножить на 1,1=400510 минус 1,1xх400510 минус 2,1x
Третий(400510 минус 2,1x) умножить на 1,1=440561 минус 2,31xх440561 минус 3,31x=0

3,31x=440561 равносильно x=133100  равносильно 3x=399300.

Теперь рассмотрим вторую схему.

 

Который отчетный месяц?Анатолий должен перевести в банк
Часть кредита

по основному долгу (руб.)

Процентные ставки банкаВсего (руб.)
Первый дробь, числитель — 331000, знаменатель — 3 331000 умножить на 0,1=33100 дробь, числитель — 331000, знаменатель — 3 плюс 33100= дробь, числитель — 430300, знаменатель — 3
Второй дробь, числитель — 331000, знаменатель — 3  дробь, числитель — 331000 умножить на 0,1 умножить на 2, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 66200, знаменатель — 3  дробь, числитель — 331000, знаменатель — 3 плюс дробь, числитель — 66200, знаменатель — 3 =132400
Третий дробь, числитель — 331000, знаменатель — 3  дробь, числитель — 331000 умножить на 0,1, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 33100, знаменатель — 3  дробь, числитель — 331000, знаменатель — 3 плюс дробь, числитель — 33100, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 364100, знаменатель — 3

 

Итак, если Анатолий воспользуется второй схемой, то он в банк должен будет вернуть сумму, равную

 дробь, числитель — 430300, знаменатель — 3 плюс 132400 плюс дробь, числитель — 364100, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 794400, знаменатель — 3 плюс 132400=397200(руб.)

А эта сумма меньше, чем 399300, на 2100 руб.

 

Замечание:

 

Эту разницу можно было бы вычислить и так:

1) Ф= дробь, числитель — 331000 умножить на {{1,1} в степени 3 }, знаменатель — {{1,1 в степени 2 } плюс 1,1 плюс 1}= дробь, числитель — 331000 умножить на 1,331, знаменатель — 3,31 =1,331 умножить на 100000=133100;

2) 3Ф=399300;

3) 331000 плюс 331000 умножить на 0,1 умножить на левая круглая скобка 1 плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 правая круглая скобка =331000 плюс 33100 умножить на 2=331000 плюс 66200=397200;

4) 399300 минус 397200=2100.

 

Ответ: выгодна вторая схема. 2100 рублей.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи о кредитах