Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 512464

а) Найдите наименьшее натуральное число такое, что оно не является делителем 100!

б) Определите, на какую наибольшую степень 10 делится 100!

в) Найдите последнюю ненулевую цифру в записи числа, равного 100!

Решение.

а) Ясно, что число 100! делится на все натуральные числа от 1 до 100. Несложно проверить, что число 101 является простым, поэтому 100! на него не делится (в разложении 100! на простые множители нет простых множителей, больших ста).

б) Разложим число 100! на простые множители. Среди чисел от 1 до 100 ровно 20 (5,10,15,...) делится на 5, и еще 4 (25,50,75,100) делятся на 5 в степени 2 , поэтому число 5 будет входить в разложение в двадцать четвертой степени. Ясно, что число 2 будет входить в разложение 100! в степени, большей, чем 24. Поэтому 100! делится на 10 в степени 24 , и не делится на 10 в степени 25 .

в) Рассмотрим сначала последнюю цифру произведения всех чисел от 1 до 100, не кратных 5. Для этого посчитаем последнюю цифру произведения 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4 умножить на 6 умножить на 7 умножить на 8 умножить на 9. Она равна 6. Последняя цифра произведения 11 умножить на 12 умножить на 13 умножить на 14 умножить на 16 умножить на 17 умножить на 18 умножить на 19 тоже будет 6. Сделаем, однако, хитрость и число 64=2 в степени 6 в произведение не включим. Тогда последняя цифра произведения 61 умножить на 62 умножить на 63 умножить на 66 умножить на 67 умножить на 68 умножить на 69 будет равна 4. Аналогично, последняя цифра произведения всех чисел от 1 до 100, не кратных 5, исключая число 64, будет равна 4, так как при умножении чисел, заканчивающихся на 6 и на 4, получается число, заканчивающееся на 4. Теперь посмотрим на последнюю ненулевую цифру числа 64 умножить на 5 умножить на 10 умножить на 15... умножить на 100. Она равна последней ненулевой цифре произведения 64 умножить на 5 в степени 20 умножить на 1 умножить на 2 умножить на 3... умножить на 20=64 умножить на 5 в степени 24 умножить на 2 в степени 18 умножить на 3 в степени 8 умножить на 7 в степени 2 умножить на 11 умножить на 13 умножить на 17 умножить на 19=10 в степени 24 умножить на 3 в степени 8 умножить на 7 в степени 2 умножить на 11 умножить на 13 умножить на 17 умножить на 19. Последняя ненулевая цифра такого произведения равна 1.

В итоге получаем, что последняя ненулевая цифра числа 100! равна 4 (произведение чисел, оканчивающихся на 1 и 4, оканчивается на 4).

 

Ответ: а) 101; б) 24; в) 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства