СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 512466

На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар. 

а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара. 

б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса. 

Решение.

Изобразим осевое сечение комбинации заданных тел (см. рисунок).

а) Пусть образующая конуса равна 2а, высота — 2r. Тогда: полная поверхность конуса

Ясно, что 2r — это диаметр шара.

Выразим зависимость r и a.

Поверхность шара

Итак, что и требовалось доказать.

б) Часть конуса, которая лежит внутри шара (объем этого тела обозначим V1)представляет собой объединение:

другого равностороннего конуса, осевым сечением которого является ΔMBN (его объем обозначим Vk1, высоту — hk1);

шарового сегмента MDN (объем обозначим Vσ), высота hσ которого равна

Очевидно,

 

 

 

Часть шара, лежащая вне конуса (объем обозначим V2), есть дополнение только что рассмотренного геометрического тела до построенного шара (объем обозначим Vш).

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.