Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512468

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка E. Окружности w1 и w2, вписанные в треугольники ABE и CBE, касаются прямой BE в точках K и M соответственно.

а) Докажите, что KM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на |CE минус AE|.

б) Определите, на сколько радиус окружности w2  больше радиуса окружности w1, если  известно,  что  AE = 9,  СЕ = 15, а радиус вписанной в  треугольник ABC окружности равен 4. 

Решение.

а) Прежде решим вспомогательную задачу.

Задача: если в произвольном треугольнике ABC D — точка касания стороны AB и окружности, вписанной в этот треугольник, то верно равенство: BD= дробь, числитель — AB плюс BC минус AC, знаменатель — 2 . (См. рис.1) .

Доказательство. Пусть F, E — точки касания сторон АС и BC соответственно, Обозначим BD = BE = x, AD = AF = t, CE = CF = y. Имеем:

BD=x=AB минус t=AB минус (AC минус y)=AB минус AC плюс y=AB минус AC плюс (BC минус x)=AB минус AC плюс BC минус x.

Мы получили: x=AB плюс BC минус AC минус x равносильно 2x=AB плюс BC минус AC равносильно x= дробь, числитель — AB плюс BC минус AC, знаменатель — 2 .

В соответствии с доказанным выше в основной задаче будем иметь (см. рис. 2):

 

В ΔCBE BM= дробь, числитель — BE плюс BC минус CE, знаменатель — 2 ; в ΔABE BK= дробь, числитель — BE плюс AB минус AE, знаменатель — 2 . Но

KM=|BK минус BM|=\left| дробь, числитель — BE плюс AB минус AE минус BE минус BC плюс CE, знаменатель — 2 |.

Так как AB = BC (это по условию), то: KM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \left| CE минус AE |, что и требовалось доказать.

 

б) AC = AE + CE = 9 + 15 = 24. Если AB = BC = x, то p(ABC) = x + 12, по формуле Герона:

S(ABC)= корень из { (x плюс 12) умножить на {{(12 плюс x минус x)} в степени 2 }(12 плюс x минус 24)}=12 корень из { {{x} в степени 2 } минус 144}

это с одной стороны.

С другой же стороны, S(ABC)=(x плюс 12) умножить на 4. Значит,

(x плюс 12) умножить на 4=12 корень из { (x плюс 12)(x минус 12)} равносильно x плюс 12=3 корень из { (x плюс 12)(x минус 12)} равносильно {{(x плюс 12)} в степени 2 }=9(x плюс 12)(x минус 12) равносильно

 равносильно x плюс 12=9x минус 108 равносильно 8x=120 равносильно x=15.

 

S(ABC)=(x плюс 12) умножить на 4=27 умножить на 4=108;

Пусть D — середина АС. Тогда: BD ⊥ AC, BD = 2S(ABC) : AC = 216 : 24 = 9. DE = AD − AE = 3.

В прямоугольном ΔBDE BE= корень из { B{{D} в степени 2 } плюс D{{E} в степени 2 }}= корень из { 81 плюс 9}=3 корень из { 10}.

p(ABE)=12 плюс дробь, числитель — 3 корень из { 10}, знаменатель — 2 ;S(ABE)=0,5AE умножить на BD= дробь, числитель — 81, знаменатель — 2 .

Если r1 — радиус окружности ω1, то

r_1= дробь, числитель — 81, знаменатель — 2 : левая круглая скобка 12 плюс дробь, числитель — 3 корень из { 10}, знаменатель — 2 правая круглая скобка = дробь, числитель — 81, знаменатель — 24 плюс 3 корень из { 10 }= дробь, числитель — 27, знаменатель — 8 плюс корень из { 10 }= дробь, числитель — 27(8 минус корень из { 10)}, знаменатель — 64 минус 10 = дробь, числитель — 27(8 минус корень из { 10}), знаменатель — 54 = дробь, числитель — 8 минус корень из { 10}, знаменатель — 2 .

 

p(BE)=15 плюс дробь, числитель — 3 корень из { 10}, знаменатель — 2 ;S(CBE)=0,5CE умножить на BD= дробь, числитель — 135, знаменатель — 2 .

Если r2 — радиус окружности ω2, то:

{{r}_{2}}= дробь, числитель — 135, знаменатель — 2 : левая круглая скобка 15 плюс дробь, числитель — 3 корень из { 10}, знаменатель — 2 правая круглая скобка = дробь, числитель — 135, знаменатель — 30 плюс 3 корень из { 10 }= дробь, числитель — 45, знаменатель — 10 плюс корень из { 10 }= дробь, числитель — 45(10 минус корень из { 10)}, знаменатель — 100 минус 10 = дробь, числитель — 45(10 минус корень из { 10}), знаменатель — 90 = дробь, числитель — 10 минус корень из { 10}, знаменатель — 2 .

 

{{r}_{2}} минус {{r}_{1}}= дробь, числитель — 10 минус корень из { 10}, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — 8 минус корень из { 10}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 10 минус корень из { 10} минус 8 плюс корень из { 10}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 2, знаменатель — 2 =1.

 

Ответ: 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 138.
Классификатор планиметрии: Треугольники