СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 512670

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Через центр верхнего основания призмы и середины двух ребер нижнего основания проведена плоскость β.

а) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью ABC.             

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью β, если известно, что ребро призмы равно 6.

Решение.

а) Пусть M — середина AB, N — середина BC, O — центр нижнего основания призмы, O1 — центр верхнего основания, D — середина АС, D1 — середина A1C1. Соединим отрезком точки: M и N. И пусть K — точка пересечения MN и BD. Соединим K и O1, и O1 отрезками.

Проведем через O1 прямую, параллельную AC1, точки пересечения этой прямой с A1B1 и B1C1 обозначим P и Q соответственно. Соединим отрезками точки: P и Q, P и M, N и Q.

Докажем, что точки P, Q, M, N лежат в одной плоскости.

PQ || A1C1 по построению, A1C1 || AC по условию, AC || MN, поскольку MN — средняя линия ΔABC по условию. Следовательно, PQ || MN. А через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. Значит, эта плоскость и есть плоскость β, о которой говорится в условии задачи.

 

OO1 ⊥ (ABC), OK — проекция наклонной O1K на (ABC), OKMN, откуда по теореме о трех перпендикулярах O1K ⊥ MN.

Заметим, что ∠OKO1 — угол между плоскостью нижнего основания призмы и секущей плоскостью β.

Пусть ребра заданной призмы равны а. Тогда:

 

 

 

б) Пусть точки P1, Q1 — проекции точек P и Q на AB и BC соответственно. Тогда P1MNQ1 — проекция четырехугольника (фактически трапеции) PMNQ. Следовательно, P1MNQ1 — также трапеция с основаниями P1Q1, MN и высотой OK. Значит:

Ясно, что MN = 3;

 

 

 

Ответ: а) б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильная треугольная призма, Сечение, проходящее через три точки, Угол между плоскостями