≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512672

В ромб вписана окружность Θ. Окружности w1 и w2 (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности Θ и двух соседних сторон ромба. 

а) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью Θ, составляет менее 80% площади ромба.

б) Найдите отношение радиусов окружностей w1 и w2, если известно, что диагонали ромба относятся, как 1 : 2. 

Решение.

а) Площадь большого круга равна , площадь ромба Надо показать следующее:

То есть надо доказать, что радиус вписанной окружности r как минимум в 2 раза меньше стороны ромба. Для этого рассмотрим треугольник BOC: он прямоугольный, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны; OH = r — высота данного треугольника. Нетрудно догадаться, что значение r максимально, когда треугольник BOC является равнобедренным: в таком случае OH является высотой и медианой, а медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть , откуда Значит, во всех остальных случаях высота OH будет только меньше, чем 0.5. Таким образом доказали, что

Что и требовалось доказать.

 

б) Обозначим и из прямоугольного треугольника BOC найдем:

Найдем и : так как , обозначим , откуда получим по основному тригонометрическому тождеству:

Из прямоугольного треугольника BOH получим:

С другой стороны Из прямоугольного треугольника получим:

Приравнивая выражения для BO, получим:

 

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник OHC:

По аналогии с вычислениями выше, получим:

Снова приравнивая выражения для OC, получаем:

Окончательно, чтобы найти соотношение между радиусами окружностей, поделим найденные выражения друг на друга:

 

Ответ:

 

Примечание: если все же не очевиден факт того, что высота в прямоугольном треугольнике наибольшая, когда его катеты равны, то ниже приведено два варианта строгого доказательства:

1) Обозначим CH = x, BH = a − x. Из свойств прямоугольного треугольника известно:

Величина (а следовательно и r) наибольшая, когда максимально значение выражения Можно заметить, что — это парабола с ветвями, направленными вниз. Тогда вершина параболы находится по формуле

 

2) Из прямоугольного треугольника BOC получаем:

Из прямоугольного треугольника BOH получим:

Чтобы найти наибольшее значение, необходимо взять производную от r:

Окончательно

Приведём другое решение:

А) Пусть ABCD — заданный ромб, ∠A ≤ 90°, О — центр окружности, вписанной в ромб, R — радиус этой окружности, K — проекция точки В на AD.

Отсюда:

Мы будем сравнивать неизменную площадь круга Sкр при фиксированном значении его радиуса, равного R, с площадью ромба Sr при различных значениях его острого угла А. Ясно, что Sr будет иметь наименьшую площадь при фиксированном R, если Тогда:

Коли это так, дальнейшая наша задача — показать, что число π составляет менее 0,8 части числа 4.

0,8 часть числа 4 есть 3,2. Но π < 3,2, что в свою очередь означает, что площадь круга, ограниченного окружностью Θ, составляет менее 80% площади ромба.

 

б) Пусть O1 — центр окружности ω1, O2 — центр окружности ω2, ∠CAD = α1, ∠CBD = α2, радиус окружности ω1 равен r1, окружности ω2 равен r2. Тогда Если OD = t, то AO = 2t. А также:

Это с одной стороны. С другой же стороны: Таким образом,

Аналогично:

 

 

 

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.