Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 512994

Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что

 дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d конец дроби =1.

а) Могут ли все числа быть попарно различны?

б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?

в) Найдите все возможные наборы чисел (без учета их порядка в наборе), среди которых ровно два числа равны.

Спрятать решение

Решение.

а) Да, например,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби =1.

б) Да, например,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби =1.

в) Если все четыре числа больше четырех, то сумма обратных к ним меньше четырех четвертых, то есть меньше 1. Если все числа не меньше четырех, то равенство возможно лишь для a=b=c=d=4, но в этом случае равны все числа, а не ровно два из них. Наконец, ни одно из чисел не равно единице. Следовательно, среди чисел непременно есть 2 или 3. Будем считать, что c=d. Умножим обе части равенства на abc, получим: abc=ac плюс bc плюс 2ab. В силу симметрии а и b достаточно рассмотреть случай, когда 2 или 3 равно либо a, либо c. Рассмотрим эти варианты.

1. Пусть a=2, тогда 2bc=2c плюс bc плюс 4b, то есть bc минус 2c минус 4b=0, откуда  левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка c минус 4 правая круглая скобка =8. Это дает варианты b=10, c=5, b=c=6 (не подходит, поскольку три числа равны 6), b=4, c=8, b=3, c=12.

2. Пусть a=3, тогда 3bc=3c плюс bc плюс 6b, то есть 2bc минус 3c минус 6b=0, откуда  левая круглая скобка 2b минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2c минус 6 правая круглая скобка =18. Это дает варианты b=2, c=12; b=3, c=6 (не подходит, так как дает две пары одинаковых чисел); b=6, c=4.

3. Пусть c=2, тогда 2ab=2a плюс 2b плюс 2ab, откуда a плюс b=0, что невозможно.

4. Пусть c=3, тогда 3ab=3a плюс 3b плюс 2ab, а значит, ab минус 3a минус 3b=0, откуда получаем, что  левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 3 правая круглая скобка =9. Отсюда имеем: a=4, b=12; a=12, b=4; a=b=6 (не подходит, так как дает две пары одинаковых чисел).

Из найденных наборов в ответ необходимо включить те, которые соответствуют различным наборам чисел, без учета их прядка в наборах. Это  левая фигурная скобка 2;10;5;5 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 2;4;8;8 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 2;3;12;12 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 3;6;4;4 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 4;12;3;3 правая фигурная скобка .

 

Ответ: а) да; б) да, в)  левая фигурная скобка 2;10;5;5 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 2;4;8;8 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 2;3;12;12 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 3;6;4;4 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 4;12;3;3 правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 512994: 514711 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Классификатор алгебры: Числа и их свойства
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Лев Чечулин 23.02.2020 20:47

Здравствуйте.

У меня вопрос. Почему вы считаете 2 набора одинаковыми, если они получаются друг из друга изменением порядка чисел. По-моему, из-за того, что у нас есть конкретные переменные, мы не можем пренебрегать одинаковыми в числах, но разными в перестановках вариантами. Возьмём, например, вариант {2;10;5;5}: его можно рассматривать, как a=2; b=10; c=5; d=5, а можно и как a=5; b=2; c=5; d=10. Оба этих варианта подходят, но они разные. Не понимаю, почему это не учтено.

Служба поддержки

Согласны. Уточнили условие.