СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 513094

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Решение.

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2 : 1, то есть

Рассмотрим высоту SE треугольника SAB. Точка F1 являеся ее серединой. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок тогда

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как или в соотношении 5 : 1, начиная от точки C. Что и требовалось доказать.

б) Найдем высоту искомой пирамиды Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок отрезок (так как это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна

Объем пирамиды найдем по формуле

 

Ответ: б)

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Правильная треугольная пирамида, Сечение, параллельное или перпендикулярное плоскости