В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2 : 1, то есть 
Рассмотрим высоту SE треугольника SAB. Точка F1 является ее серединой. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь, отрезок 
тогда 
В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как 
или в соотношении 5 : 1, начиная от точки C. Что и требовалось доказать.
б) Найдем высоту искомой пирамиды 
Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:
Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок 
отрезок 
(поскольку это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции 
Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:
Площадь трапеции (основания пирамиды) равна
Объем пирамиды найдем по формуле
Ответ: б) 