Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 513111

Найдите все значения a, при каждом из которых система

 система выражений yx в квадрате плюс y в квадрате =2y плюс 63 минус 7x в квадрате ,x\geqslant минус 3,x плюс y=a конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Решим первое уравнение:

yx в квадрате плюс y в квадрате =2y плюс 63 минус 7x в квадрате равносильно yx в квадрате плюс 7x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 63=0 равносильно

 равносильно (y плюс 7)(y плюс x в квадрате минус 9)=0 равносильно совокупность выражений y= минус 7,y=9 минус x в квадрате . конец совокупности .

Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.

Рассмотрим случай (2):

y=9 минус x в квадрате равносильно 9 минус x в квадрате =a минус x равносильно x в квадрате минус x плюс (a минус 9)=0.

Так как D=1 минус 4(a минус 9)=37 минус 4a, то при a больше 9,25 корней нет, при a=9,25 получаем один корень x=0,5, при a меньше 9,25 получаем два различных корня. У параболы y=x в квадрате минус x плюс (a минус 9) — ветви вверх, абсцисса вершины равна x_0=0,5 больше 0.

Значит, оба корня не меньше -3 при 3 плюс a больше или равно 0, то есть при  минус 3 меньше или равно a меньше 9,25, а при a меньше минус 3 один корень меньше −3, а другой — больше −3.

Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

 

aa < −10−10 ≤ a < −3−3 ≤ a < 9,25a = 9,25a > 9,25
Число решений (1)01111
Число решений (2)11210

 

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда  минус 7=9 минус x в квадрате равносильно x=\pm4, с учётом x \geqslant минус 3 из x плюс y=a получаем, что x = 4, a = −3.

 

Ответ:  минус 10 меньше или равно a\leqslant минус 3,a=9,25.

 

Примечание: для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но в ответ включены также и одно-два неверных значения.3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра.2
Задача верно сведена к исследованию совокупности трёх квадратных уравнений относительно a.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
Классификатор алгебры: Комбинация «кривых»
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Leonid Trofimov 26.12.2018 11:57

Можете объяснить, как мы из yx^2+y^2-2y-63+7x^2=0 получили (y+7)(y+x^2-9)=0 Всё никак не удаётся преобразовать к такому виду.

Александр Иванов

yx в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 63 плюс 7x в квадрате =0 равносильно yx в квадрате плюс 7x в квадрате плюс y в квадрате минус 2y минус 63=0 равносильно
 равносильно x в квадрате (y плюс 7) плюс (y плюс 7)(y минус 9)=0 равносильно (y плюс 7)(x в квадрате плюс y минус 9)=0

Артем Рутман 28.03.2019 18:49

Пожалуйста разьясните

Значит, оба корня не меньше -3 при то есть при а при один корень меньше −3, а другой — больше −3.не могу додуматься откуда это -3

Александр Иванов

Из условия