Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 513111

Найдите все значения a, при каждом из которых система

 система выражений yx в степени 2 плюс y в степени 2 =2y плюс 63 минус 7x в степени 2 ,x\ge минус 3,x плюс y=a конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Решим первое уравнение:

yx в степени 2 плюс y в степени 2 =2y плюс 63 минус 7x в степени 2 равносильно yx в степени 2 плюс 7x в степени 2 плюс y в степени 2 минус 2y минус 63=0 равносильно

 равносильно (y плюс 7)(y плюс x в степени 2 минус 9)=0 равносильно совокупность выражений y= минус 7,y=9 минус x в степени 2 . конец совокупности .

Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.

Рассмотрим случай (2):

y=9 минус x в степени 2 равносильно 9 минус x в степени 2 =a минус x равносильно x в степени 2 минус x плюс (a минус 9)=0.

Так как D=1 минус 4(a минус 9)=37 минус 4a, то при a больше 9,25 корней нет, при a=9,25 получаем один корень x=0,5, при a меньше 9,25 получаем два различных корня. У параболы y={{x} в степени 2 } минус x плюс (a минус 9) — ветви вверх, абсцисса вершины равна x_0=0,5 больше 0.

Значит, оба корня не меньше -3 при 3 плюс a больше или равно 0, то есть при  минус 3 меньше или равно a меньше 9,25, а при a меньше минус 3 один корень меньше −3, а другой — больше −3.

Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

 

aa < −10−10 ≤ a < −3−3 ≤ a < 9,25a = 9,25a > 9,25
Число решений (1)01111
Число решений (2)11210

 

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда  минус 7=9 минус x в степени 2 равносильно x=\pm4, с учётом x \ge минус 3 из x плюс y=a получаем, что x = 4, a = −3.

 

Ответ:  минус 10 меньше или равно a\le минус 3,a=9,25.

 

Примечание: для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.

 

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Leonid Trofimov 26.12.2018 11:57

Можете объяснить, как мы из yx^2+y^2-2y-63+7x^2=0 получили (y+7)(y+x^2-9)=0 Всё никак не удаётся преобразовать к такому виду.

Александр Иванов

yx в степени 2 плюс y в степени 2 минус 2y минус 63 плюс 7x в степени 2 =0 равносильно yx в степени 2 плюс 7x в степени 2 плюс y в степени 2 минус 2y минус 63=0 равносильно x в степени 2 (y плюс 7) плюс (y плюс 7)(y минус 9)=0 равносильно (y плюс 7)(x в степени 2 плюс y минус 9)=0

Артем Рутман 28.03.2019 18:49

Пожалуйста разьясните

Значит, оба корня не меньше -3 при то есть при а при один корень меньше −3, а другой — больше −3.не могу додуматься откуда это -3

Александр Иванов

Из условия