Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 513258

Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее значение функции f(x)=|x минус a| минус x в квадрате не меньше 1.

Спрятать решение

Решение.

Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. В самом деле, f(a)= минус a в квадрате меньше 1. Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения |x минус a|=x в квадрате плюс 1. Поскольку x в квадрате плюс 1 больше 0, это уравнение равносильно совокупности

 левая квадратная скобка \beginaligned x минус a=x в квадрате плюс 1, a минус x=x в квадрате плюс 1 \endaligned . равносильно левая квадратная скобка \beginaligned x в квадрате минус x плюс 1 плюс a=0, x в квадрате плюс x плюс 1 минус a=0. \endaligned .

Эта совокупность имеет решения если 1 минус 4(1 плюс a) больше или равно 0 или если 1 минус 4(1 минус a) больше или равно 0, то есть при a меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби или a больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус принадлежит fty; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; принадлежит fty правая круглая скобка .

 

 

Приведём другое решение.

Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к минус бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наибольшего значения. Тогда для того, чтобы наибольшее значение функции f(x)=|x минус a| минус x в квадрате было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы неравенство f(x) больше или равно 1 имело решение. Запишем его в виде

|x минус a| больше или равно x в квадрате плюс 1

и построим графики левой и правой частей неравенства.

График правой части неравенства — парабола, полученная из параболы, задаваемой уравнением y=x в квадрате сдвигом на 1 вверх вдоль оси ординат. График правой части неравенства получается сдвигом графика функции y=|x минус a| сдвигом на |a| единиц вдоль оси абсцисс вправо или влево в зависимости от знака a.

Пусть при a=a_1 правая ветвь графика модуля касается параболы, а при a=a_2 — левая (см. рис.). Тогда при a_1 меньше a меньше a_2 парабола целиком лежит выше графика модуля и неравенство не имеет решений. При прочих значениях параметра неравенство имеет решения, поэтому осталось установить значения, соответствующие касанию.

При x больше или равно a в силу равенства |x минус a|=x минус a получаем уравнение x минус a_1=x в квадрате плюс 1 или x в квадрате минус x плюс (a_1 плюс 1)=0. Случаю касания соответствует единственное решение этого уравнения, поэтому его дискриминант должен быть равен нулю: 1 минус 4(a_1 плюс 1)=0, откуда a_1= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . Аналогично для x меньше a получаем уравнение x в квадрате плюс x плюс (1 минус a_2)=0, откуда находим 1 минус 4(1 минус a_2)=0 или a_2= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . Тем самым, a принадлежит левая круглая скобка минус принадлежит fty; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; принадлежит fty правая круглая скобка .

 

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но

– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;

– или решение недостаточно обосновано

3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра2
Задача сведена к исследованию:

– или взаимного расположения трёх окружностей;

– или двух квадратных уравнений с параметром

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Valentin Evstafyev 14.10.2019 13:31

Более короткое решение.

При раскрытии модуля мы рассматриваем две параболы, ветвями вниз, абсциссы вершин которых 0,5 и -0,5. ООФ — любое число, функция непрерывна. Значит, наибольшее значение функция принимает в одной из этих вершин. При этом f(0)=|a|>=0. Заметим, что при любом значении а значение в одной из вершин равно |a|+0,25. Значит, условие задачи выполняется, если |a|+0,25>=1. Что и даёт ответ, совпадающий с авторским.

Служба поддержки

К этому решению есть вопросы. Почему можно считать, что при любом значении параметра в склейке будет хоть одна вершина? Почему значение в точке склейки не анализируется? Почему когда в одной вершине значение значение |a|+0,25 в другой не больше? Зачем в решении найдено значение f(0)?