СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 513266

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 2 : 1, считая от вершины S.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

Решение.

а) Обозначим за M, N середины ребер SA и SD. Поскольку MN — средняя линия треугольника SAD, то поэтому точка B также лежит в данной плоскости. Поэтому с гранью ABS данная плоскость пересекается по прямой BM — медиане треугольника SAB. Она делит его медиану SQ (Q — середина AB) в отношении 2 : 1 считая от вершины.

б) Пусть Поскольку MN — средняя линия треугольника SAD, она делит отрезок SK пополам, то есть T — середина SK. Ясно, что T лежит в данной плоскости.

Рассмотрим теперь треугольник SBF. В нем проведена медиана SK и отмечена ее середина T. В данной плоскости лежит прямая BT, пересекающая SF в точке W. Осталось выяснить местоположение точки W.

Напишем теорему Менелая для треугольника FSK и прямой , откуда

 

Ответ: 1 : 2.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная шестиугольная пирамида, Сечение — трапеция, Сечение, проходящее через три точки
Спрятать решение · ·
Александр Пьянков 10.02.2017 16:58

Можно поподробнее, откуда вы взяли, что точка В лежит в плоскости сечения?

Александр Иванов

из параллельности

Александр Митченко 24.04.2017 05:21

На мой взгляд, условие, состоящее в том, что боковое ребро вдвое больше ребра основания, не используется при решении задачи и является лишним.

Служба поддержки

Согласны, убрали из условия это уточнение.