Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 513282

Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

1\leqslant дробь: числитель: 2a плюс x в степени 2 минус 4 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9), знаменатель: 5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 конец дроби плюс 2a плюс 4 плюс \log в степени 2 _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9)

состоит из одной точки, и найдите это решение.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и  минус x тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение x=0. Кроме того, при x=0 неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,

1= дробь: числитель: 2a минус 4 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9), знаменатель: 2a плюс 4 плюс \log в степени 2 _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9),

4 плюс \log в степени 2 _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9)= минус 4 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9),

( логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9) плюс 2) в степени 2 =0,

 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9)= минус 2,

4a в степени 2 минус 4a плюс 9=9,

a=0илиa=1.

Рассмотрим эти случаи. При a=1 имеем 1\leqslant дробь: числитель: x в степени 2 плюс 10, знаменатель: 5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 конец дроби плюс 10. Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 плюс 10\leqslant x в степени 2 плюс 10,

25(18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 )\leqslant x в степени 4 ,

449x в степени 4 плюс 175x в степени 2 \leqslant 0.

x=0. Итак, a=1 подходит.

При a=0 имеем 1\leqslant дробь: числитель: x в степени 2 плюс 8, знаменатель: 5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 конец дроби плюс 8. Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 плюс 8\leqslant x в степени 2 плюс 8,

25(18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 )\leqslant x в степени 4 ,

449x в степени 4 плюс 175x в степени 2 \leqslant 0.

x=0. Итак, a=0 тоже подходит.

 

Ответ: a=0, a=1. При этом x=0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но

– или в ответ включены также и одно-два неверных значения;

– или решение недостаточно обосновано

3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра2
Задача сведена к исследованию:

– или взаимного расположения трёх окружностей;

– или двух квадратных уравнений с параметром

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 513268: 513282 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016