ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 17 № 513282 Добавить в вариант

Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

$1\leqslant дробь: числитель: 2a плюс x в степени 2 минус 4 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9), знаменатель: 5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 конец дроби плюс 2a плюс 4 плюс \log в степени 2 _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9)$

состоит из одной точки, и найдите это решение.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и $минус x$ тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение $x=0.$ Кроме того, при $x=0$ неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,

$1= дробь: числитель: 2a минус 4 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9), знаменатель: 2a плюс 4 плюс \log в степени 2 _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9),$

$4 плюс \log в степени 2 _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9)= минус 4 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9),$

$( логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9) плюс 2) в степени 2 =0,$

$логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (4a в степени 2 минус 4a плюс 9)= минус 2,$

$4a в степени 2 минус 4a плюс 9=9,$

$a=0илиa=1.$

Рассмотрим эти случаи. При $a=1$ имеем $1\leqslant дробь: числитель: x в степени 2 плюс 10, знаменатель: 5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 конец дроби плюс 10.$ Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

$5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 плюс 10\leqslant x в степени 2 плюс 10,$

$25(18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 )\leqslant x в степени 4 ,$

$449x в степени 4 плюс 175x в степени 2 \leqslant 0.$

$x=0.$ Итак, $a=1$ подходит.

При $a=0$ имеем $1\leqslant дробь: числитель: x в степени 2 плюс 8, знаменатель: 5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 конец дроби плюс 8.$ Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

$5 корень из 18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 плюс 8\leqslant x в степени 2 плюс 8,$

$25(18x в степени 4 плюс 7x в степени 2 )\leqslant x в степени 4 ,$

$449x в степени 4 плюс 175x в степени 2 \leqslant 0.$

$x=0.$ Итак, $a=0$ тоже подходит.

Ответ: $a=0,$ $a=1.$ При этом $x=0.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра	2
Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 513268: 513282 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Введение замены

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь